Signum (wiskunde)
Het signum, als functie vaak aangeduid als sgn, is een eenvoudige wiskundige functie die, zoals de naam min of meer zegt[1], het teken van het argument aangeeft. Een negatief getal heeft het teken , het getal het teken en een positief getal heeft het teken :
Het gebruik van de functie signum maakt het in sommige gevallen mogelijk één uitdrukking te hanteren in plaats van de diverse gevallen te onderscheiden. In plaats van te schrijven:
kan volstaan worden met de uitdrukking:
Eigenschappen
Elk reëel getal kan worden uitgedrukt als het product van de absolute waarde en de signumfunctie ervan:
Voor geldt:
en dan dus ook:
Voor is de signumfunctie de afgeleide van de absolutewaardefunctie.
Voor alle reële waarden van is de signumfunctie differentieerbaar, met afgeleide 0.
Voorbeeld
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/90/Graph1007.png/200px-Graph1007.png)
Een voorbeeld van het gebruik van het signum is de volgende functie (de grafiek ervan staat in de hiernaast staande figuur):
met:
Subsitutie van in de functie geeft:
Deze laatste uitdrukking heeft geen reële waarde. De functie bestaat daarmee niet voor .
Deze functie kan ook beschreven worden met het voorschrift:
Hierna volgt de afleiding daarvan.
Afleiding
Allereerst is:
- voor
- voor
- voor
- voor
- voor
- voor
- voor
- voor
Het functievoorschrift kan hiermee nu worden geïnterpreteerd als:
Als negatief is, geldt:
Is positief, dan is:
Dus is het voorschrift van inderdaad te schrijven als:
Verder is, en zie ook de grafiek van hierboven:
Daarmee kan dan de functie voor continu gemaakt worden door te definiëren:
De continumakende waarde voor is dus gelijk aan . Hier is er dus sprake van ophefbare discontinuïteit.
Toepassing
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Signum%28superellips%29.png/250px-Signum%28superellips%29.png)
Een lid van de familie krommen van Lamé (de zogenoemde superellipsen) wordt in een cartesisch coördinatenstelsel gedefinieerd door:
- met en
Deze kromme is, evenals een ellips die met ook tot die familie behoort, symmetrisch in de x- en de y-as. Met is de lengte van de grote as gelijk aan 6; die van de kleine as is 4. Wordt deze vergelijking geschreven als:
dan ligt het, ten behoeve van een parametervergelijking met de parameter , voor de hand te stellen:
- of
Met de signumfunctie zijn beide laatste relaties dan te schrijven als:
Noten
- ↑ Lat. signum (meervoud signa) komt van het werkwoord signare dat inkerven, markeren betekent. Signum betekent daarmee dus iets als 'dat wat gemarkeerd is'.