Nul-één-wet van Kolmogorov

De Nul-één-wet van Kolmogorov is een wiskundige stelling in de kansrekening over de mogelijke kansen op bepaalde limieten. De wet behoort tot de nul-één-wetten en beschrijft een klasse van gebeurtenissen die bijna zeker (met kans 1) of bijna nooit (met kans 0) optreden. De wet is genoemd naar Andrey Kolmogorov.

Stelling

Zij $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ een kansruimte en $({\mathcal {A}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ een rij σ-algebra's in ${\mathcal {A}}$ , dat wil zeggen ${\mathcal {A}}_{n}\subseteq {\mathcal {A}}$ voor alle $n\in \mathbb {N}$ . Als de σ-algebra's ${\mathcal {A}}_{n}$ onderling onafhankelijk zijn, is de staart-σ-algebra ${\mathcal {T}}$ van de rij $({\mathcal {A}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ P-triviaal, wat wil zeggen dat voor elke staartgebeurtenis $T\in {\mathcal {T}}$ geldt: $P(T)=0$ of $P(T)=1$ .

Analoge uitspraken gelden voor de staart-σ-algebra van een rij onderling onafhankelijke stochastische variabelen, en voor de staart-σ-algebra van een rij onderling onafhankelijke gebeurtenissen.

Gevolgen

Laat $X_{1},X_{2},\ldots$ een rij onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn en ${\mathcal {T}}$ de bijbehorende staart-σ-algebra. Gemakkelijk kan bewezen worden dat $\{\omega \mid X_{n}(\omega )\;{\mbox{convergeert voor }}n\to \infty \}\in {\mathcal {T}}$ . De rij $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ convergeert of divergeert dus bijna zeker. Als in het geval van convergentie $X$ de limiet is, dan kan aangetoond worden dat $X$ een ${\mathcal {T}}$ -meetbare stochastische variabele is. Omdat $\sigma ({\mathcal {T}})$ triviaal is, moet $X$ noodzakelijk constant zijn.

Bovendien kan via de Nul-één-wet van Kolmogorov, de Nul-één-wet van Hewitt-Savage afgeleid worden.