Rij van Lucas: verschil tussen versies

De rij van Lucas is een variant op de rij van Fibonacci, met dezelfde recursie, maar met andere startwaarden. Voor de rij van Fibonacci zijn de startwaarden 0 en 1. Voor de rij van Lucas (L_n) geldt:

L_{1}=1

L_{2}=3

en voor n > 2:

L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}

Dit levert de rij ^[1]:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, ...

De rij is genoemd naar François Édouard Anatole Lucas (1842–1891).

De rij wordt ook vaak gedefinieerd met de startwaarden L₀ = 2 en L₁ = 1.

Eigenschappen

De som van twee Fibonacci-getallen F_n-1 en F_n+1 waarvan de indices 2 verschillen, die elkaar dus niet opvolgen, maar er een getal overgeslagen wordt, is een Lucas-getal.

L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}

.

Het quotiënt van twee Fibonacci-getallen F_2n en F_n waarvan de indices een factor 2 verschillen, is een Lucas-getal.

L_{n}={\frac {F_{2n}}{F_{n}}}

.

Net als in de rij van Fibonacci, nadert ook $L_{n}/L_{n-1}$ naar de gulden snede als n naar oneindig gaat.
Met φ de gulden snede, geldt:

L_{n}=\phi ^{n}+(1-\phi )^{n}

.

Als n een priemgetal is, dan geldt dat $L_{n}\equiv 1{\pmod {n}}$ . Er zijn ook samengestelde termen in de rij met die eigenschap.
De voortbrengende functie van de Rij van Lucas is : $\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}={\frac {2-x}{1-x-x^{2}}}.$

Externe link

de eerste 200 Lucas getallen

Bronnen, noten en/of referenties

↑ rij A000032 in OEIS

[1] rij A000032 in OEIS

[1]

Versie van 14 mei 2014 18:17 86.94.125.176 (overleg) Geen bewerkingssamenvatting ← Oudere bewerking		Versie van 9 mrt 2015 15:40 JRB (overleg \| bijdragen) 42.429 bewerkingen Geen bewerkingssamenvatting Nieuwere bewerking →
Regel 29:		Regel 29:

	[[Categorie:Getaltheorie]]		[[Categorie:Getaltheorie]]
			[[Categorie:Rij van gehele getallen]]

Versie van 9 mrt 2015 15:40

Eigenschappen

Externe link