Representatietheorie: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
k →‎top: -/- spaties voor ref (verzoek op WP:VPB)
Woudpiek (overleg | bijdragen)
3.479 bewerkingen
kGeen bewerkingssamenvatting
Regel 3: Regel 3:
Als een eerste benadering maakt een representatie een abstract algebraïsch object concreet door de [[element (wiskunde)|element]]en van dit algebraïsch object door [[matrix (wiskunde)|matrices]] en [[operatie (wiskunde)|algebraïsche operatie]]s in termen van [[matrixoptelling]] en [[matrixvermenigvuldiging]] te beschrijven. Algebraïsche objecten die zich goed lenen voor een dergelijke beschrijving zijn onder meer de [[groep (wiskunde)|groep]]en, [[associatieve algebra]]'s en [[Lie-algebra]]'s. De meest prominente van deze drie (en historisch gezien ook de eerste) is de [[representatie van groepen]], waarin elementen van een groep worden weergegeven door [[inverse matrix|inverteerbare matrices]] met als groepsbewerking de matrixvermenigvuldiging.<ref>Voor de geschiedenis van de representatietheorie van [[eindige groep]]en, zie Lam (1998). Voor [[algebraïsche groep]]en [[Lie-groep]]en, zie Borel (2001).</ref>
Als een eerste benadering maakt een representatie een abstract algebraïsch object concreet door de [[element (wiskunde)|element]]en van dit algebraïsch object door [[matrix (wiskunde)|matrices]] en [[operatie (wiskunde)|algebraïsche operatie]]s in termen van [[matrixoptelling]] en [[matrixvermenigvuldiging]] te beschrijven. Algebraïsche objecten die zich goed lenen voor een dergelijke beschrijving zijn onder meer de [[groep (wiskunde)|groep]]en, [[associatieve algebra]]'s en [[Lie-algebra]]'s. De meest prominente van deze drie (en historisch gezien ook de eerste) is de [[representatie van groepen]], waarin elementen van een groep worden weergegeven door [[inverse matrix|inverteerbare matrices]] met als groepsbewerking de matrixvermenigvuldiging.<ref>Voor de geschiedenis van de representatietheorie van [[eindige groep]]en, zie Lam (1998). Voor [[algebraïsche groep]]en [[Lie-groep]]en, zie Borel (2001).</ref>


Representatietheorie is een krachtig instrument, omdat het problemen uit de [[abstracte algebra]] reduceert tot problemen in de [[lineaire algebra]], die over het algemeen beter wordt begrepen.<ref name=linalg>Er zijn tal van leerboeken over [[vectorruimte]]n] en de [[lineaire algebra]]. Voor een geavanceerde behandeling, zie Kostrikin (1997).</ref> Bovendien kan een vectorruimte waarop bijvoorbeeld een [[groep (wiskunde)|groep]] wordt weergegeven [[oneindigheid|oneindig]] [[Dimensie (algemeen)|dimensionaal]] zijn, en door bijvoorbeeld toe te staan, dat het een [[Hilbertruimte]] is, kunnen methoden uit de [[wiskundige analyse|analyse]] worden toegepast op de groepentheorie.<ref>Sally, Paul; Vogan, David A. , ''Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups'', American Mathematical Society, ISBN 978-0821815267 (1989)</ref> Representatietheorie is ook belangrijk in de [[natuurkunde]], omdat zij bijvoorbeeld beschrijft hoe de [[symmetriegroep]] van een [[natuurkundig systeem]] de oplossingen beïnvloedt van vergelijkingen die dit natuurkundige systeem beschrijven.<ref name=Sternberg>Sternberg (1994).</ref>
Representatietheorie is een krachtig instrument, omdat het problemen uit de [[abstracte algebra]] reduceert tot problemen in de [[lineaire algebra]], die over het algemeen beter wordt begrepen.<ref name=linalg>Er zijn tal van leerboeken over [[vectorruimte]]n en de [[lineaire algebra]]. Voor een geavanceerde behandeling, zie Kostrikin (1997).</ref> Bovendien kan een vectorruimte waarop bijvoorbeeld een [[groep (wiskunde)|groep]] wordt weergegeven [[oneindigheid|oneindig]] [[Dimensie (algemeen)|dimensionaal]] zijn, en door bijvoorbeeld toe te staan, dat het een [[Hilbertruimte]] is, kunnen methoden uit de [[wiskundige analyse|analyse]] worden toegepast op de groepentheorie.<ref>Sally, Paul; Vogan, David A. , ''Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups'', American Mathematical Society, ISBN 978-0821815267 (1989)</ref> Representatietheorie is ook belangrijk in de [[natuurkunde]], omdat zij bijvoorbeeld beschrijft hoe de [[symmetriegroep]] van een [[natuurkundig systeem]] de oplossingen beïnvloedt van vergelijkingen die dit natuurkundige systeem beschrijven.<ref name=Sternberg>Sternberg (1994).</ref>


Een opvallend kenmerk van de representatietheorie is haar alomtegenwoordigheid in de wiskunde. Hier zitten twee kanten aan. Ten eerste zijn de toepassingen van de representatietheorie divers:<ref>Lam (1998), pag 372.</ref> naast haar invloed op de algebra, heeft de representatietheorie ook [[Fourieranalyse]] (via de [[harmonische analyse]]) sterk verhelderd en veralgemeend.<ref name=Folland>Folland (1995)</ref> De theorie is ook diep verbonden met de [[meetkunde]] via de [[invariantentheorie]] en het [[Erlanger Programm|Erlangen programma]] van [[Felix Klein]].<ref>Goodman en Wallach (1998), Olver (1999), Sharpe (1997)</ref> Ook heeft de representatietheorie een enorme invloed uitgeoefend op de [[getaltheorie]] via de theorie van de [[automorfe vorm]]en en het [[Langlands-programma]].<ref>Borel en Casselman (1979)), Gelbert (1984).</ref> Het tweede aspect is de diversiteit van de benaderingen van de representatietheorie. Dezelfde objecten kunnen worden bestudeerd met behulp van methoden uit de [[algebraïsche meetkunde]], de [[moduletheorie]], de [[analytische getaltheorie]], de [[differentiaalmeetkunde]], de [[operatorentheorie]] en de [[topologie]].<ref>Zie de vorige voetnoten en ook Borel (2001).</ref>
Een opvallend kenmerk van de representatietheorie is haar alomtegenwoordigheid in de wiskunde. Hier zitten twee kanten aan. Ten eerste zijn de toepassingen van de representatietheorie divers:<ref>Lam (1998), pag 372.</ref> naast haar invloed op de algebra, heeft de representatietheorie ook [[Fourieranalyse]] (via de [[harmonische analyse]]) sterk verhelderd en veralgemeend.<ref name=Folland>Folland (1995)</ref> De theorie is ook diep verbonden met de [[meetkunde]] via de [[invariantentheorie]] en het [[Erlanger Programm|Erlangen programma]] van [[Felix Klein]].<ref>Goodman en Wallach (1998), Olver (1999), Sharpe (1997)</ref> Ook heeft de representatietheorie een enorme invloed uitgeoefend op de [[getaltheorie]] via de theorie van de [[automorfe vorm]]en en het [[Langlands-programma]].<ref>Borel en Casselman (1979)), Gelbert (1984).</ref> Het tweede aspect is de diversiteit van de benaderingen van de representatietheorie. Dezelfde objecten kunnen worden bestudeerd met behulp van methoden uit de [[algebraïsche meetkunde]], de [[moduletheorie]], de [[analytische getaltheorie]], de [[differentiaalmeetkunde]], de [[operatorentheorie]] en de [[topologie]].<ref>Zie de vorige voetnoten en ook Borel (2001).</ref>

Versie van 30 dec 2019 12:28

Representatietheorie is een tak van de wiskunde, die abstracte algebraïsche structuren bestudeert door hun elementen te representeren als lineaire transformaties van vectorruimten.[1]

Als een eerste benadering maakt een representatie een abstract algebraïsch object concreet door de elementen van dit algebraïsch object door matrices en algebraïsche operaties in termen van matrixoptelling en matrixvermenigvuldiging te beschrijven. Algebraïsche objecten die zich goed lenen voor een dergelijke beschrijving zijn onder meer de groepen, associatieve algebra's en Lie-algebra's. De meest prominente van deze drie (en historisch gezien ook de eerste) is de representatie van groepen, waarin elementen van een groep worden weergegeven door inverteerbare matrices met als groepsbewerking de matrixvermenigvuldiging.[2]

Representatietheorie is een krachtig instrument, omdat het problemen uit de abstracte algebra reduceert tot problemen in de lineaire algebra, die over het algemeen beter wordt begrepen.[3] Bovendien kan een vectorruimte waarop bijvoorbeeld een groep wordt weergegeven oneindig dimensionaal zijn, en door bijvoorbeeld toe te staan, dat het een Hilbertruimte is, kunnen methoden uit de analyse worden toegepast op de groepentheorie.[4] Representatietheorie is ook belangrijk in de natuurkunde, omdat zij bijvoorbeeld beschrijft hoe de symmetriegroep van een natuurkundig systeem de oplossingen beïnvloedt van vergelijkingen die dit natuurkundige systeem beschrijven.[5]

Een opvallend kenmerk van de representatietheorie is haar alomtegenwoordigheid in de wiskunde. Hier zitten twee kanten aan. Ten eerste zijn de toepassingen van de representatietheorie divers:[6] naast haar invloed op de algebra, heeft de representatietheorie ook Fourieranalyse (via de harmonische analyse) sterk verhelderd en veralgemeend.[7] De theorie is ook diep verbonden met de meetkunde via de invariantentheorie en het Erlangen programma van Felix Klein.[8] Ook heeft de representatietheorie een enorme invloed uitgeoefend op de getaltheorie via de theorie van de automorfe vormen en het Langlands-programma.[9] Het tweede aspect is de diversiteit van de benaderingen van de representatietheorie. Dezelfde objecten kunnen worden bestudeerd met behulp van methoden uit de algebraïsche meetkunde, de moduletheorie, de analytische getaltheorie, de differentiaalmeetkunde, de operatorentheorie en de topologie.[10]

Het succes van de representatietheorie heeft tot tal van generalisaties geleid. De meest algemene daarvan is in de categorietheorie.[11] De algebraïsche objecten waarop de representatietheorie van toepassing is, kunnen worden gezien als een bijzondere soort categorieën, en de representaties als functors van de objectcategorie naar de categorie van vectorruimten. Deze beschrijving wijst naar twee voor de hand liggende generalisaties: ten eerste, dat algebraïsche objecten kunnen worden vervangen door meer algemene categorieën, ten tweede dat de doelcategorie van de vectorruimten kan worden vervangen door andere goed begrepen categorieën.

Voetnoten

  1. ↑ Klassieke teksten over representatietheorie zijn onder andere Curtis, Charles W.; Reiner, Irving (1962), Representation theory of finite groups and associative algebras, Pure and Applied Mathematics, Vol. XI, Interscience Publishers, John Wiley & Sons, New York-London, ISBN 978-0-8218-4066-5, MR0144979 en Serre, Jean-Pierre, Linear Representations of Finite Groups, Springer-Verlag, ISBN 978-0387901909 (1977). Andere uitstekende bronnen zijn William Fulton en Joe Harris Representation theory, a first course, Springer (1991) en R. Goodman, N.R. Wallach, Representations and Invariants of the Classical Groups, Cambridge University Press, Cambridge (1998).
  2. ↑ Voor de geschiedenis van de representatietheorie van eindige groepen, zie Lam (1998). Voor algebraïsche groepen Lie-groepen, zie Borel (2001).
  3. ↑ Er zijn tal van leerboeken over vectorruimten en de lineaire algebra. Voor een geavanceerde behandeling, zie Kostrikin (1997).
  4. ↑ Sally, Paul; Vogan, David A. , Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0821815267 (1989)
  5. ↑ Sternberg (1994).
  6. ↑ Lam (1998), pag 372.
  7. ↑ Folland (1995)
  8. ↑ Goodman en Wallach (1998), Olver (1999), Sharpe (1997)
  9. ↑ Borel en Casselman (1979)), Gelbert (1984).
  10. ↑ Zie de vorige voetnoten en ook Borel (2001).
  11. ↑ Simson, Skowronski en Assem (2007).
source: https://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Representatietheorie&diff=prev&oldid=55344984