Reeks (wiskunde): verschil tussen versies

Het wiskundige begrip reeks is een uitbreiding van de optelling van rationale getallen, reële getallen, complexe getallen, functies, etc., tot het geval van een oneindige rij termen. Een reeks wordt genoteerd als een uitdrukking van de vorm

a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}

Voor een gegeven ruimte waarin de optelling is gedefinieerd, zoals de reële getallen, is er aldus een eenduidig verband tussen de rijen termen uit die ruimte, en de reeksen.

De eventuele uitkomst $S$ van de sommatie wordt, uitgedrukt in de termen van de reeks, hetzelfde genoteerd als de reeks, dus $S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$ .

Soms wordt bij een eindig aantal termen ook wel de term reeks gebruikt, bijvoorbeeld rekenkundige reeks bij de sommatie van een eindig aantal opeenvolgende elementen van een rekenkundige rij.

Het woord 'reeks' werd vroeger vaak gebruikt in situaties waarin later voor 'rij' gekozen wordt.^[1]^[2]

Definitie

Voor iedere rij $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ in een verzameling waarin een optelling is gedefinieerd, is de daarmee geassocieerde reeks gedefinieerd als de formele som

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots

.^[3]

De elementen van de rij zijn de termen van de reeks.

Partiële som

De som $s_{n}$ van de eerste $n$ termen van de rij $(a_{i})_{i=1}^{\infty }$ wordt partiële som of ook wel partieelsom genoemd:

s_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}

Als de rij van partiële sommen convergeert, schrijft men voor de limiet:

S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}

Alternatieve definitie van 'Reeks'

Een 'reeks' wordt ook wel formeel gedefinieerd als een bepaalde combinatie van een rij $(a_{n})$ en de rij $(s_{n})$ van zijn partiële sommen, bijvoorbeeld $(\,(a_{n},s_{n})\,)_{n=1}^{\infty }$ .

Convergentie

Voor reeksen met termen in een gegeven metrische ruimte (met optelling), is het zinvol het bestaan van de som te onderzoeken.

Een reeks heet convergent als de rij der partiële sommen convergeert naar een eindige limiet $S$ . In dat geval noemt men $S$ de som van de reeks:

S=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}a_{n}

Als de rij der partiële sommen convergeert, moet de rij der afzonderlijke termen $a_{n}$ convergeren naar 0. Het omgekeerde geldt echter niet: een reeks waarvan de termen convergeren naar 0, kan nog steeds divergent (niet convergent ) zijn; zie bijvoorbeeld de harmonische reeks hieronder.

Absolute convergentie

We beperken ons nu tot reeksen waarvan de termen reële getallen zijn.

Een reeks heet absoluut convergent als de absolute waarden van de termen $a_{i}$ op hun beurt de bouwstenen zijn van een convergente reeks.

In formulevorm: de reeks $\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$ heet absoluut convergent als de reeks $\sum _{i=1}^{\infty }|a_{i}|$ een convergente reeks is.

Elke absoluut convergente reeks is convergent. Bij een absoluut convergente reeks kan men de volgorde van de termen willekeurig omgooien zonder de reekssom te beïnvloeden. Bij een convergente reeks die niet absoluut convergent is (een voorwaardelijk convergente reeks), geldt dit helemaal niet. Men kan dan door een goed gekozen herschikking van de termen zelfs eender welke limiet bereiken.

Geometrische of meetkundige reeks

De reeks voortgebracht door de machten van een getal $a$ met absolute waarde kleiner dan 1 is absoluut convergent:

1+a+a^{2}+a^{3}+...={\frac {1}{1-a}}

Dit is als volgt te bewijzen:

s_{n}=1+a+a^{2}+a^{3}+\dots +a^{n},|a|<1

as_{n}=a+a^{2}+a^{3}+a^{4}+\dots +a^{n+1}

s_{n}-as_{n}=1-a^{n+1}

s_{n}(1-a)=1-a^{n+1}

s_{n}={\frac {1-a^{n+1}}{1-a}}

S=\lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-a^{n+1}}{1-a}}={\frac {1}{1-a}}

.

Zie ook, meer algemeen, meetkundige reeks.

Harmonische reeks

De harmonische rij is in de wiskunde de rij $1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{5}},\cdots$ , dus met algemene term: $a_{n}={\tfrac {1}{n}}$

Het is een van de eenvoudigste rijen met de eigenschap $a_{n}=O(1/n)$ (zie grote-O-notatie), dus de eigenschap dat $na_{n}$ begrensd is.

De bijbehorende harmonische reeks

\sum {\frac {1}{n}}

is divergent.

\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}

is voor grote n bij benadering gelijk aan

\ln(n)

: beide gaan naar oneindig, maar het verschil heeft als limiet de constante van Euler-Mascheroni.

Hyperharmonische reeks

Een hyperharmonische reeks is een reeks van de vorm

1+{\tfrac {1}{2^{p}}}+{\tfrac {1}{3^{p}}}+\dots +{\tfrac {1}{n^{p}}}

waarbij

p\in \mathbb {R}

We kunnen de volgende gevallen onderscheiden:

Als p=1: harmonische reeks, divergeert
Als p<1: hyperharmonische reeks, divergeert
Als p>1: hyperharmonische reeks, convergeert

Alternerende reeks

Bij een alternerende reeks wisselen de termen elke keer van teken. Een alternerende reeks, waarvan de absolute waarde van de algemene term convergeert naar nul en elke term in absolute waarde niet groter is dan zijn voorganger, is convergent.

De reeks $\sum {\tfrac {(-1)^{n+1}}{n}}$ is convergent, maar niet absoluut convergent:

1-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}+...=\ln(2)

Deze reeks heet alternerende harmonische reeks.

Andere typen reeksen

Andere typen reeksen zijn onder andere:

Voorbeelden

Voorbeelden van reeksen die een relatie hebben met het getal π.

Van Leonhard Euler zijn de reeksen:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

en

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\left(2n+1\right)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}

Van Gottfried Wilhelm von Leibniz zijn de reeksen:

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\dots ={\frac {\pi }{4}}

en

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{\left(2n+1\right)^{2}}}-{\frac {1}{\left(2n+2\right)^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{12}}

Zie ook

Zie de categorie Series (mathematics) van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.

Bronnen, noten en/of referenties

↑ In Nederlandse schoolboeken is die verschuiving in de naamkeuze (vanaf omstreeks 1960) goed zichtbaar.
↑ S. Schwartzmann, The Words of Mathematics (1994). Pag.196: "In older usage, series sometimes meant what we would now call a sequence; for example, the Fibonacci 'series' is actually a sequence."
↑ Zie bijvoorbeeld: Yu.A. Kuznetsov & J. Stienstra (2009) Fouriertheorie, pagina 9, regel 13 PDF.

[1] In Nederlandse schoolboeken is die verschuiving in de naamkeuze (vanaf omstreeks 1960) goed zichtbaar.

[2] S. Schwartzmann, The Words of Mathematics (1994). Pag.196: "In older usage, series sometimes meant what we would now call a sequence; for example, the Fibonacci 'series' is actually a sequence."

[3] Zie bijvoorbeeld: Yu.A. Kuznetsov & J. Stienstra (2009) Fouriertheorie, pagina 9, regel 13 PDF.

[1]

[2]

[3]

@@ Regel 1: / Regel 1: @@
+Het [[wiskunde|wiskundige]] begrip '''reeks''' is een uitbreiding van de [[optelling]] van [[rationale getallen]], [[reële getallen]], [[complexe getallen]], [[functie (wiskunde)|functie]]s, etc., tot het geval van een oneindige rij termen. Een reeks wordt genoteerd als een [[Uitdrukking (wiskunde)|uitdrukking]] van de vorm
-'''Oneindige reeks''' of kortweg '''reeks'''  is in de wiskunde een oudere, ten dele door'' 'rij' ''vervangen, naam voor: ''een [[Rij (wiskunde)|oneindige rij]] met getallen<ref>
+:<math>a_1+a_2+a_3+\ldots=\sum_{i=1}^\infty a_i</math>
-Behalve getallen ook andere ''optelbare'' elementen, vaak machtsfuncties of sinus- en cosinus-functies</ref> als termen''. <br>
-"Reeks" heeft de voorkeur behouden in onder meer: 'reeksvoorstelling van een getal'<ref>
-Reeksvoorstelling (reeksvorm) van een getal = de aanduiding van een getal als limiet van de partieelsommen van een sommeerbare rij. In formulevorm: <math display="inline">\,\lim_{n\to\infty}(a_1{+} \cdots{+}a_n) </math>. &thinsp;Vergelijk: decimale voorstelling van een getal, binaire voorstelling van een getal. <br>
-Andere typen getalvoorstellingen, eveneens uitgaande van een gegeven getallenrij <math display="inline">\,(a_n)\,</math>: <br>
-– [[Kettingbreuk|kettingbreuk-voorstelling]], als limiet van de 'getrapte breuken'; &thinsp;in formule:<math display="inline">\lim_{n\to\infty}(a_1{+}1/(a_2{+}1/(\cdots{+}a_n)/n\,</math> <br>
-– [[Oneindig product|oneindigproduct-voorstelling]], als limiet van de 'partieelproducten'; &thinsp;in formule:<math display="inline">\lim_{n\to\infty}(a_1\cdot a_2\cdot\,\cdots\,\cdot a_n)\,</math> <br>
-– [[Cesàro-sommatie|cesàrosom-voorstelling]], als limiet van de gemiddelde partieelsommen; &thinsp;in formule:<math display="inline">\lim_{n\to\infty}(a_1{+}(a_1{+}a_2){+}\cdots{+}(a_1{+}\cdots{+}a_n))/n\,</math>.
-</ref>,
-[[Reeksontwikkeling|'reeksontwikkeling van een functie']], [[Taylorreeks|'taylorreeks']], [[Fourierreeks|'fourierreeks']], [[Machtreeks|'machtreeks']] en [[Binomium van Newton|'binomiaalreeks']]; bij veel auteurs ook in andere situaties waarin de partieelsommenrij en/of de eventuele som van zo'n getallenrij beschouwd wordt. <br>
-De dubbele betekenis van [[Convergentie (wiskunde)|'convergent']] en 'convergeren' <ref>(1) De termen hebben een limiet, (2) de partieelsommen hebben een limiet; en ook nog (verouderd) de termen hebben 0 als limiet. </ref>
-leidt tot onregelmatige nomenclatuur en meerduidige notaties.
+Voor een gegeven ruimte waarin de optelling is gedefinieerd, zoals de reële getallen, is er aldus een eenduidig verband tussen de [[rij (wiskunde)|rij]]en termen uit die ruimte, en de reeksen.
-De studie van reeksen/rijen had aanvankelijk (18e eeuw) als hoofddoel het vinden van willekeurig scherpe rationale benaderingen voor de waarde van niet-rationale grootheden, en wel door opsplitsing in oneindig veel (snel genoeg klein wordende) breuk-getallen.
+De eventuele uitkomst <math>S</math> van de [[sommatie]] wordt, uitgedrukt in de termen van de reeks, hetzelfde genoteerd als de reeks, dus <math>S = a_1+a_2+a_3+\ldots=\sum_{i=1}^\infty a_i</math>.
-== Onregelmatig woordgebruik ==
-=== 'Convergente (termconvergente) rij' &thinsp;naast&thinsp; 'convergente (somconvergente) reeks' ===
-Het gangbare taalgebruik, ook buiten het Nederlands<ref>
-Vertalingen van 'reeks' zijn:  Frans ''série'', Engels ''series'', Duits ''Reihe''. En van 'rij':  ''série, series, Folge''. </ref>, maakt betekenisverschil tussen enerzijds&thinsp;'convergente ''rij' '' (soms: 'convergerende ''rij' '') &thinsp; en anderzijds&thinsp; 'convergente ''reeks' '' (soms: 'convergerende ''reeks' '') . <br>
-In deze combinaties gaat het bij het woord '' 'rij' '' om het convergeren van de ''aparte'' termen (<math display="inline">\,t_1, \,t_2, \,t_3, \cdots\,</math>), &thinsp;en bij het woord '' 'reeks' '' om het convergeren van de ''samengenomen'' termen (de ''partiële sommen'' <math display="inline">\,t_1, \ t_1{+}t_2, \ t_1{+}t_2{+}t_3, \,\cdots\,</math>). <br>
-Ofwel: '' 'rij' + 'convergent' '' &thinsp;duidt op een ''term''limiet, en '' 'reeks' + 'convergent' '' &thinsp;op een ''som''limiet.
+Soms wordt bij een eindig aantal termen ook wel de term ''reeks'' gebruikt, bijvoorbeeld ''rekenkundige reeks'' bij de [[Rekenkundige rij#Afleiding van de somformule|sommatie van een eindig aantal opeenvolgende elementen van een rekenkundige rij]].
-=== 'Sommeerbare rij' &thinsp;naast&thinsp; 'sommeerbare reeks' ===
-Vanaf het midden van de 20e eeuw wordt een rij waarvan de partieelsommem convergeren, ook "''sommeerbare rij'' " genoemd. &thinsp;Het woord 'convergent' komt bij die auteurs uitsluitend voor in de combinatie 'convergente rij'.
+Het woord 'reeks' werd vroeger vaak gebruikt in situaties waarin later voor 'rij' gekozen wordt.<ref>In Nederlandse schoolboeken is die verschuiving in de naamkeuze (vanaf omstreeks 1960) goed zichtbaar.</ref><ref>S. Schwartzmann, ''The Words of Mathematics'' (1994). Pag.196: "In older usage, ''series'' sometimes meant what we would now call a sequence; for example, the Fibonacci 'series' is actually a sequence."</ref>
-'' 'Sommeerbare reeks' ''&thinsp;komt al eerder voor, als benaming voor een getallenrij waarvan de partieelsommen geen limiet hebben maar waar de een of andere alternatieve 'sommatiemethode' wel tot een limiet leidt: [[Cesàro-sommatie|Cesàro-sommeerbaar]], [[:en:Abel sum|Abel-sommeerbaar]], [[:en:Borel summable|Borel-sommeerbaar]] en andere.<ref>Zo'n alternatieve som dient overeen te komen met de 'gewone' som, bij toepassing op een 'gewoon' sommeerbare rij.</ref>
+== Definitie ==
+Voor iedere [[rij (wiskunde)|rij]] <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> in een verzameling waarin een optelling is gedefinieerd, is de daarmee geassocieerde '''reeks''' gedefinieerd als de formele som
+:<math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots </math>.<ref>Zie bijvoorbeeld: {{Aut|Yu.A. Kuznetsov}} & {{Aut|J. Stienstra}} (2009) '''Fouriertheorie''', pagina 9, regel 13  [http://www.staff.science.uu.nl/~kouzn101/FT/Fourier2009.pdf PDF].</ref>
+De elementen van de rij zijn de termen van de reeks.
+== Partiële som ==
+De som <math>s_n</math> van de eerste <math>n</math> termen van de rij <math>(a_i)_{i=1}^\infty</math> wordt ''partiële som'' of ook wel ''partieelsom'' genoemd:
+:<math>s_n=a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n =\sum_{i=1}^n a_i</math>
+Als de rij van partiële sommen convergeert, schrijft men voor de limiet:
+:<math>S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots = \sum_{n=1}^\infty a_n </math>
-=== 'Komma-notatie' &thinsp;naast&thinsp; 'plusteken-notatie' ===
-Voor schriftelijke ''notaties'' geldt het volgende: <br>
-Als een oneindige getallenrij '' 'rij' ''&thinsp;genoemd wordt, is gebruikelijk<ref>
-Vaak krijgt de beginterm index 0 in plaats van 1, ter vereenvoudiging van de formule voor de algemene term.</ref>:
-<br>
-<math>\quad t_1, \,t_2, \,t_3, \,\cdots\quad\ \ </math> of  <math>\quad t_1, \,t_2, \,t_3, \,\cdots, \,t_n, \,\cdots\quad\quad</math> of <math>\quad(t_n)_{n=1, 2, \cdots}</math>
-<br>
-en als een oneindige getallenrij '' 'reeks' ''&thinsp;genoemd wordt:
-<br>
-<math>\quad t_1{+}t_2{+}t_3{+} \cdots\quad</math> of <math>\quad t_1{+}t_2{+}t_3{+} \cdots{+}t_n{+} \cdots\quad</math> of <math>\quad \Sigma\,t_n\,</math> .
+===Alternatieve definitie van 'Reeks'===
-== Meerduidige formulevormen ==
+Een 'reeks' wordt ook wel formeel gedefinieerd als een bepaalde combinatie van een rij <math>(a_n)</math> en de rij <math>(s_n)</math> van zijn partiële sommen, bijvoorbeeld <math>( \, (a_n,s_n) \, )_{n=1}^\infty</math>.
-De vorm &thinsp;<math display="inline">\,\sum_{n=1}^\infty t_n\,</math> &thinsp;(of&thinsp; <math display="inline">\,\sum_{n=1, 2, \cdots}t_n\,</math> &thinsp;of&thinsp; <math>\ t_1{+}t_2{+}t_3{+} \cdots\, </math> &thinsp;of&thinsp; <math>\ t_1{+}t_2{+} \cdots{+}t_n{+} \cdots\,</math>)&thinsp; kan drie dingen betekenen: <br>
-(1) de rij <math display="inline">\,(t_n)\,</math>, &thinsp; (2) de somrij (rij van partiële sommen) van de rij <math display="inline">\,(t_n)\,</math>, &thinsp; (3) de limiet van de somrij van de rij <math display="inline">\,(t_n)\ </math>.
+== Convergentie ==
-''Voorbeeld:''
+Voor reeksen met termen in een gegeven [[metrische ruimte]] (met optelling), is het zinvol het bestaan van de som te onderzoeken.
-:<math display="inline">\,\sum_{n=1}^\infty t_n\,</math> is de som van <math display="inline">\,\sum_{n=1}^\infty t_n\,</math> indien <math display="inline">\,\sum_{n=1}^\infty t_n\,</math> convergeert <br>
-staat voor
-:het getal <math display="inline">\,\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^k t_n\,</math> is de som van de rij <math display="inline">\,t_1, \,t_2, \,t_3, \cdots\,</math> indien de rij <math display="inline">\,t_1, \ t_1{+}t_2, \ t_1{+}t_2{+}t_3, \,\cdots\,</math> convergeert <br>
-en met de haakjes-notatie voor rijen <br>
-:het getal <math display="inline">\,\sum_{n=1}^\infty t_n\,</math> is de som van de rij <math display="inline">\,(t_n)_n\,</math> indien de rij <math display="inline">\,(\sum_{n=1}^k t_n)_k\,</math> convergeert.
+Een reeks heet ''[[convergentie (wiskunde)|convergent]]'' als de rij der partiële sommen convergeert naar een eindige limiet <math>S</math>. In dat geval noemt men <math>S</math> de ''som'' van de reeks:
-== Absolute sommeerbaarheid van een rij, absolute convergentie van een reeks ==
-Een getallenrij/reeks (algemene term <math display="inline">t_n</math>)&thinsp; waarvoor geldt dat de rij <math display="inline">\,|t_1|, \ |t_1|{+}|t_2|, \ |t_1|{+}|t_2|{+}|t_3|, \,\cdots\,</math> een limiet heeft, wordt traditioneel een ''absoluut convergente reeks'' genoemd; meer recent ook wel een ''absoluut sommeerbare rij''. Een dergelijke rij is zelf eveneens sommeerbaar en de som blijft onveranderd onder welke permutatie van de termen dan ook.
+:<math>S =\sum_{n=1}^\infty a_n =\lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N a_n</math>
-== Termen van een rij/reeks, som van een rij/reeks, limiet van een rij ==
-In combinatie met &thinsp;''"de termen van de . . ."''&thinsp; of met &thinsp;''"de som van de . . ."'' &thinsp;maakt ''"rij met algemene term tn"'' dan wel ''"reeks met algemene term tn"'' geen verschil in betekenis. Hetzelfde geldt voor &thinsp;''"de partieelsommen van de . . ."''&thinsp;, &thinsp;''"de somrij van de . . ."''&thinsp;, &thinsp;''"het somhebbend zijn van de . . ."'' .  <br>
+Als de rij der partiële sommen convergeert, moet de rij der afzonderlijke termen <math>a_n</math> convergeren naar 0. Het omgekeerde geldt echter niet: een reeks waarvan de termen convergeren naar 0, kan nog steeds divergent (niet convergent ) zijn; zie bijvoorbeeld de harmonische reeks hieronder.
-In combinatie met &thinsp;''"de limiet van de . . ."'' &thinsp;wordt voornamelijk ''"rij"'' gebruikt. Want bij ''"reeks"'' kan er twijfel zijn of het om de limiet van de ''termen'' of om de limiet van de ''partieelsommen'' gaat, een duidelijke conventie op dit punt ontbreekt.
+== Absolute convergentie ==
-== Cauchyproduct van twee rijen/reeksen. Stelling van Mertens ==
+We beperken ons nu tot reeksen waarvan de termen reële getallen zijn.
-Onder ''het cauchyproduct van een rij/reeks met algemene term <math display="inline">a_n</math> en een rij/reeks met algemene term <math display="inline">b_n</math>'', verstaat men de rij/reeks met algemene term <math display="inline">\,a_1b_n{+}a_2b_{n-1}{+}\cdots{+}a_nb_1\,</math>. <br>
-Stelling van Mertens: &thinsp;Als van twee rijen/reeksen de ene het getal A als som heeft en de andere het getal B, en (minstens) een van beide is absoluut sommeerbaar / absoluut convergent, dan heeft het cauchyproduct van die rijen het getal A×B als som.
+Een reeks heet [[absoluut convergent]] als de [[absolute waarde]]n van de termen <math>a_i</math> op hun beurt de bouwstenen zijn van een convergente reeks.
-== Vroeger anders ==
-Voor een rij met een ''termen''-limiet waren tot rond het eind van de 19e eeuw de benamingen 'convergente rij', 'convergent sequence', 'convergente Folge', ''niet'' gebruikelijk (het Franse 'suite convergente' komt in deze betekenis wel al wat eerder voor). &thinsp;Men sprak - zoals ook nu nog - van &thinsp;"het naar een limiet streven van de termen"&thinsp; of ook van &thinsp;"het naar een limietwaarde convergeren"&thinsp; van de termen.
+In formulevorm: de reeks <math>\sum_{i=1}^\infty a_i</math> heet absoluut convergent als de reeks <math>\sum_{i=1}^\infty |a_i|</math> een convergente reeks is.
-Tot in het begin van de 19e eeuw komt &thinsp;'convergente (convergerende) reeks'&thinsp; voor als aanduiding voor een rij getallen met 0 als limiet, een ''nulrij''.  &thinsp;Gauss heeft expliciet gewezen op het meerduidige gebruik van &thinsp;'convergente reeks'.<ref>
-C.F. Gauss, [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN236018647?tify=%7b ''Werke, Band X Abteilung 1]'', 18??, blz. 400: &thinsp;"''Die Convergenz einer Reihe an sich ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz ihrer Summirung zu einem endlichen Grenz-werthe''". </ref> <br>
+Elke absoluut convergente reeks is convergent. Bij een absoluut convergente reeks kan men de volgorde van de termen willekeurig omgooien zonder de reekssom te beïnvloeden. Bij een convergente
+reeks die niet absoluut convergent is (een [[Voorwaardelijke convergentie|voorwaardelijk convergente reeks]]), geldt dit helemaal niet. Men kan dan door een goed gekozen herschikking van de termen zelfs eender welke limiet bereiken.
-In het verleden werd met '' 'sommeerbare reeks' '' en '' 'niet-sommeerbare reeks' '' ook wel het al dan niet bestaan van een 'gesloten vorm' voor de partieelsommen-limiet bedoeld. Waarbij het ''gesloten vorm'' geleidelijk aan een ruimere interpretatie kreeg.
+== Geometrische of meetkundige reeks ==
+De reeks voortgebracht door de machten van een getal <math>a</math> met absolute waarde kleiner dan 1 is absoluut convergent:
+:<math>1 + a + a^2 + a^3 + ... = \frac{1}{1-a}</math>
+Dit is als volgt te bewijzen:
+:<math> s_n = 1 + a + a^2 + a^3 + \dots + a^n, |a| < 1 </math>
+:<math> as_n = a + a^2 + a^3 + a^4 + \dots + a^{n+1} </math>
+:<math> s_n - as_n = 1 - a^{n+1}</math>
+:<math> s_n ( 1 - a ) = 1 - a^{n+1}</math>
+:<math> s_n = \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a}</math>
+:<math>S=\lim_{n \to \infty} s_n=\lim_{n \to \infty} \frac{1 - a^{n+1}}{1 - a} = \frac{1}{1-a}</math> .
+Zie ook, meer algemeen, [[meetkundige reeks]].
+== Harmonische reeks ==
+De [[harmonische rij]] is in de [[wiskunde]] de [[rij (wiskunde)|rij]] <math> 1,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{5},\cdots </math>, dus met algemene term: <math>a_n=\tfrac{1}{n}</math>
+Het is een van de eenvoudigste rijen met de eigenschap <math>a_n = O(1/n)</math> (zie [[grote-O-notatie]]), dus de eigenschap dat <math>na_n</math> begrensd is.
+De bijbehorende ''harmonische reeks''
+:<math>\sum\frac{1}{n}</math>
+is [[divergentie (wiskunde)|divergent]].
+:<math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math> is voor grote ''n'' bij benadering gelijk aan <math>\ln(n)</math>: beide gaan naar oneindig, maar het verschil heeft als limiet de [[constante van Euler-Mascheroni]].
+=== Hyperharmonische reeks ===
+Een '''hyperharmonische reeks''' is een reeks van de vorm
+:<math>1+\tfrac{1}{2^p} + \tfrac{1}{3^p} + \dots + \tfrac{1}{n^p}</math>
+:waarbij <math>p \in \mathbb{R}</math>
+We kunnen de volgende gevallen onderscheiden:
+# Als ''p''=1: harmonische reeks, divergeert
+# Als ''p''<1: hyperharmonische reeks, divergeert
+# Als ''p''>1: hyperharmonische reeks, convergeert
+== Alternerende reeks ==
+Bij een [[alternerende reeks]] wisselen de termen elke keer van teken. Een alternerende reeks, waarvan de absolute waarde van de algemene term convergeert naar nul en elke term in absolute waarde niet groter is dan zijn voorganger, is convergent.
+De reeks <math>\sum \tfrac{(-1)^{n+1}}{n}</math> is convergent, maar niet absoluut convergent:
+:<math>1 - \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{4} + ... = \ln(2)</math>
+Deze reeks heet ''alternerende harmonische'' reeks.
+== Andere typen reeksen ==
+Andere typen reeksen zijn onder andere:
+* [[Binomium van Newton#Algemene formule|Binomiaalreeks]]
+* [[Machtreeks]]
+* [[Taylorreeks]]
+* [[Kansgenererende functie]]
+* [[Z-transformatie]]
+== Voorbeelden ==
+Voorbeelden van reeksen die een relatie hebben met het getal [[pi (wiskunde)|''π'']].
+Van [[Leonhard Euler]] zijn de reeksen:
+:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac 11+ \frac 14+ \frac19+ \ldots = \frac{\pi^2}{6}</math>
+en
+:<math>
+\sum^\infty_{n=0} \frac{1}{\left(2n+1\right)^2}= \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \dots = \frac{\pi^2}{8}
+</math>
+Van [[Gottfried Wilhelm von Leibniz]] zijn de reeksen:
+:<math>
+\sum^\infty_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1}= \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots =\frac{\pi}{4}
+</math>
+en
-== Grote variatie in beschrijvingen van wat met "''oneindige reeks''" bedoeld kan zijn ==
+:<math>
-De geleidelijke, eind 19e eeuw begonnen, betekenisverschuiving van de woorden "convergent" en "convergeren" - van ''somlimiet''hebbend naar ''termlimiet''hebbend - heeft geleid tot een enorme verscheidenheid aan pogingen om'' 'de' ''&thinsp;betekenis van de aanduiding "oneindige reeks" vast te leggen. &thinsp;De volgende varianten zijn het vaakst in de (leerboeken-)literatuur te vinden:<br>
+\sum^\infty_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}= \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \dots
-- een vorm met een aanduiding van een oneindige getallenrij en met optel-tekens en enzovoort-puntjes &thinsp;(maar zo'n 'reeksvorm' kan zelf niet convergent of divergent zijn); <br>
+= \sum^\infty_{n=0} \left(\frac{1}{\left(2n+1\right)^2} - \frac{1}{\left(2n+2\right)^2}\right)= \frac{\pi^2}{12}
-- een rij met als termen de partieelsommen van z’n verschilrij &thinsp;(maar dat geldt voor élke rij); <br>
+</math>
-- een termenrij in combinatie met z’n partieelsommenrij &thinsp;(de door de [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki-groep]] in 1942 bedachte rij-somrij-koppels, ''séries'' genaamd, hebben als enige doel de twee betekenissen van "convergent" te scheiden).
-== Literatuur ==
+== Zie ook ==
+* [[Constante van Euler]]
-* [[Encyclopédie|''Encyclopédie de Diderot et d'Alembert, 1751-1772'']]. Voor het uitgebreide lemma 'SÉRIE ou SUITE', geschreven door [[Jean le Rond d'Alembert]], zie [http://enccre.academie-sciences.fr/encyclopedie/page/v15-p103/ tome XV (1765) blz. 93]. &thinsp;Een becommentarieerde versie staat [http://serge.mehl.free.fr/anx/suite_dd.html hier].
+* [[Reeksontwikkeling]]
-* M.J. Belinfante, [https://archief.vakbladeuclides.nl/bestanden/001_1924-25_04.pdf ''Bijvoegsel van het NTvW''], 1925 jrg. 1 - 4, blz. 142-160 (''Convergentie en som van oneindige Reeksen'')
-* E.J. Dijksterhuis, [https://archief.vakbladeuclides.nl/bestanden/003_1926-27_03.pdf ''Bijvoegsel van het NTvW''], 1927 jrg. 3 - 3/4, blz. 92-101 (over ''reeksen'': blz. 98-101)
-* P.G.J. Vredenduin, [https://archief.vakbladeuclides.nl/bestanden/035_1959-60_02.pdf ''Euclides''], 1959 jrg. 35 - 2, blz. 49-78 (over ''reeksen'': blz. 57-59)
-* P.G.J. Vredenduin, F. van der Blij, [https://archief.vakbladeuclides.nl/bestanden/043_1967-68_01.pdf ''Euclides''], 1967 jrg. 43 - 1, blz. 22-23 (Korrel CXL ''Rij en reeks'')
-* A. Van Rooij, [http://www.nieuwarchief.nl/serie5/pdf/naw5-2009-10-1-062.pdf ''Nieuw Archief voor Wiskunde vijfde serie''], 2009 jrg. 10 - 1, blz. 62-63 (rubriek ''De derde wet'')
-* 'Reeks'-loze analyseboeken (zonder de traditionele naam 'reeks' voor een rij in sommatie-contexten)
-**A. van Rooij, ''Analyse voor Beginners'', 1e druk 1986, Epsilon uitgave nr. 6 (par. 8: ''Sommatie'')
-**B. Kaper, H. Norde, ''Inleiding in de analyse'', 1e druk 1996, Academic Service (par. 11: ''Sommeerbaarheid van een rij'')
-* Mathematics Educators Stack Exchange (Vragen over de didactiek rond 'reeksen'.)
-**''How can I teach my students the difference between a sequence and a series?'' [https://matheducators.stackexchange.com/questions/925/how-can-i-teach-my-students-the-difference-between-a-sequence-and-a-series maart 2014]
-**''For calculus students, what should be the intuition or motivation behind series?'' [https://matheducators.stackexchange.com/questions/1245/for-calculus-students-what-should-be-the-intuition-or-motivation-behind-series?noredirect=1&lq=1 april 2014]
-**''Whats the difference between a series and sequence?'' [https://math.stackexchange.com/questions/1784646/whats-the-difference-between-a-series-and-sequence mei 2016]
-*Les Mathématiques net, 2011, forumdiscussie over de [http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,643622,643875 ''Definition de la notion de série numérique''] .
+{{commonscat|Series (mathematics)}}
 {{Appendix}}

Versie van 23 mei 2019 17:17