Reeks (wiskunde): verschil tussen versies

Het wiskundige begrip reeks is een uitbreiding van de optelling tot het geval van een oneindige rij termen. Een reeks wordt genoteerd als een uitdrukking van de vorm

a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}

Voor een gegeven ruimte waarin de optelling is gedefinieerd, zoals de reële getallen, is er aldus een eenduidig verband tussen de rijen termen uit die ruimte, en de reeksen.

De eventuele uitkomst van de sommatie $S$ wordt hetzelfde genoteerd als de reeks, dus $S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$ .

Partieelsommen

Met de rij der termen associeert men de rij der partieelsommen of partiële sommem:

a_{1},a_{1}+a_{2},a_{1}+a_{2}+a_{3},a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4},\ldots

Een korte notatie voor de n-de partieelsom is de sigmanotatie:

a_{1}+\cdots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}

Naar analogie kan de reeks zelf, met oneindig veel termen, ook in sigmanotatie worden genoteerd:

a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}

Echter, ook de limiet der partieelsommen, als deze bestaat (zie onder), wordt op die twee manieren aangeduid. Welk van beide begrippen de auteur bedoelt, moet uit de context blijken.

Convergentie

We beperken ons nu tot reeksen met termen in een gegeven metrische ruimte (met optelling).

Een reeks heet convergent als de rij der partieelsommen convergeert naar een eindige limiet $s$ . In dat geval noemt men $s$ de som van de reeks. Dus met die interpretatie van de oneindige somnotatie is

s=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\cdots )

per definitie gelijk aan $\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}a_{i}.$

Als de rij der partieelsommen convergeert, dan moet de rij der afzonderlijke termen a_i convergeren naar 0. Het omgekeerde geldt echter niet: Een reeks waarvan de termen convergeren naar 0 kan nog steeds divergent ( = niet convergent) zijn; zie bijvoorbeeld de harmonische reeks hieronder.

Reeks met als som plus of min oneindig

We kunnen bij een divergente reeks met reële termen onderscheiden een som oneindig, een som min oneindig, en het geval dat helemaal niet van een som gesproken kan worden, vergelijk oneindig als limiet.

Absolute convergentie

We beperken ons nu tot reeksen waarvan de termen reële getallen zijn.

Een reeks heet absoluut convergent als de absolute waarden van de termen $a_{i}\!$ op hun beurt de bouwstenen zijn van een convergente reeks.

Elke absoluut convergente reeks is convergent. Bij een absoluut convergente reeks kan men de volgorde van de termen willekeurig omgooien zonder de reekssom te beïnvloeden. Bij een convergente reeks die niet absoluut convergent is, geldt dit helemaal niet. Men kan dan door een goed gekozen herschikking van de termen zelfs eender welke limiet bereiken.

Bewijs

Een schets van een bewijs hiervoor:

Stel $\sum a_{n}$ is een convergente reeks en $\sum |a_{n}|$ is divergent. Dan kan dit alleen als $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ oneindig is.
Verdeel nu de rij $\{a_{n}\}\!$ in twee deelrijen, een met de positieve en de andere met de negatieve waarden. Minstens een van beide heeft een oneindige som. Om toch eindig uit te kunnen komen, moet dat ook voor de andere gelden.
Maak nu (voor zekere waarde t) een nieuwe oneindige som $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ op de volgende wijze: Als de som van de eerste n elementen groter is dan t, nemen we het eerste nog niet gebruikte element van de negatieve deelrij, anders het eerste nog niet gebruikte element uit de positieve deelrij.

In de zo gevormde oneindige som zullen alle termen van de uitgangsrij weer voorkomen, maar in een andere volgorde en de reeks zal convergeren naar t.

Geometrische of meetkundige reeks

De reeks voortgebracht door de machten van een getal $a$ met absolute waarde kleiner dan 1 is absoluut convergent:

1+a+a^{2}+a^{3}+...={\frac {1}{1-a}}

Dit is als volgt te bewijzen:

S_{n}=1+a+a^{2}+a^{3}+\dots +a^{n},|a|<1

aS_{n}=a+a^{2}+a^{3}+a^{4}+\dots +a^{n+1}

S_{n}-aS_{n}=1-a^{n+1}\!

S_{n}(1-a)=1-a^{n+1}\!

S_{n}={\frac {1-a^{n+1}}{1-a}}\!

s=\lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-a^{n+1}}{1-a}}={\frac {1}{1-a}}

.

De reeks $\sum {\frac {1}{a^{n}}}$ heet de geometrische of meetkundige reeks. Deze reeks heeft een exponentieel verloop, zoals ook kan worden gezien aan de hand van de exponentiële Taylor-reeks (zie verder).

Anders geformuleerd geldt, als |b| strikt groter is dan 1:

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{n}}}={\frac {b}{b-1}}

dus bijvoorbeeld

1+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{343}}+...={\frac {7}{6}}

Harmonische reeks

De harmonische rij is in de wiskunde de rij $1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{5}},\cdots$ , dus met algemene term: $a_{n}={\tfrac {1}{n}}$

De bijbehorende harmonische reeks

\sum {\tfrac {1}{n}}

is divergent.

Bewijs

Dit valt op de volgende wijze in te zien:

Verdeel (vanaf n = 2) de termen in groepen van steeds dubbele grootte, dat wil zeggen:

{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{5}}+\dots +{\tfrac {1}{8}},{\tfrac {1}{9}}+\dots +{\tfrac {1}{16}},\dots

.

Er zijn oneindig veel van deze groepen en van elke groep is de som groter dan of gelijk aan ${\tfrac {1}{2}}$ , bijvoorbeeld

{\tfrac {1}{5}}+\dots +{\tfrac {1}{8}}\geq {\tfrac {1}{8}}+\dots +{\tfrac {1}{8}}=4\cdot {\tfrac {1}{8}}={\tfrac {1}{2}}

.

Dus is de totale som, die de som is van al deze groepen, groter dan elk willekeurig getal, en dus oneindig.

Dus de reeks

\sum {\tfrac {1}{2}}

is een minorente reeks (alle termen zijn kleiner of gelijk aan die van de reeks hierboven). Deze reeks gaat naar +∞ en dus de harmonische reeks ook.

Opmerking: ln(x) en de harmonische reeks naderen even traag naar oneindig. Zie constante van Euler

Hyperharmonische reeks

Een hyperharmonische reeks is een reeks van de vorm

1+{\tfrac {1}{2^{p}}}+{\tfrac {1}{3^{p}}}+\dots +{\tfrac {1}{n^{p}}}

waarbij

p\in \mathbb {R}

We kunnen de volgende gevallen onderscheiden:

Als p=1: harmonische reeks, divergeert
Als p<1: hyperharmonische reeks, divergeert
Als p>1: hyperharmonische reeks, convergeert

Alternerende reeks

Bij een alternerende reeks wisselen de termen elke keer van teken.

De reeks $\sum {\tfrac {(-1)^{n+1}}{n}}$ is convergent, maar niet absoluut convergent:

1-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}+...=\ln(2)

Deze reeks heet alternerende harmonische reeks.

Andere typen reeksen

Andere typen reeksen zijn onder andere:

Voorbeeld

Voorbeeld van oneindige sommen die een relatie hebben met het getal pi:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}=-{\frac {\pi ^{2}}{12}}

Vele van deze reekssommen kunnen aangetoond worden met behulp van Fourierreeksen

Referenties

Belinfante, M.J.; Convergentie en som van oneindige reeksen, Openbare les, 1925. Artikel in BIJVOEGSEL van ... (later: Euclides), jrg.1. "een oneindige reeks is ...": p.143; "een reeks is convergent als ...": p.146; variabele reeks-sommen: p.151 voetnoot.
van Rooij, A.C.M. Analyse voor Beginners, Epsilon-uitgaven, 2003(4e druk). ISBN 978-90-5041-005-2. (Het woord 'reeks' komt in deze tekst nergens voor.)
Wat reeksen zijn, is niet te zeggen Kritiek van Hessel Pot op de term "reeks" die niet eenduidig is en overbodig, NAW 5/9 nr. 4 december 2008
Een argumentatie voor het niet proberen te definiëren van een van "rij" afwijkende betekenis van "reeks" geeft A.C.M. van Rooij in Nieuw Archief voor Wiskunde (5/10 nr. 1 maart 2009) [1] .

@@ Regel 1: / Regel 1: @@
-Het [[wiskunde|wiskundige]] begrip '''reeks''' tracht de [[optelling]] te veralgemenen tot het geval van een oneindige rij termen. Een reeks wordt informeel genoteerd als een uitdrukking van de vorm
+Het [[wiskunde|wiskundige]] begrip '''reeks''' is een uitbreiding van de [[optelling]] tot het geval van een oneindige rij termen. Een reeks wordt  genoteerd als een uitdrukking van de vorm
 :<math>a_1+a_2+a_3+\ldots=\sum_{i=1}^\infty a_i</math>
-Voor een gegeven ruimte waarin de optelling is gedefinieerd, zoals de reële getallen, is er zo eenduidig verband tussen de [[rij (wiskunde)|rij]]en termen uit die ruimte, en de reeksen.
+Voor een gegeven ruimte waarin de optelling is gedefinieerd, zoals de reële getallen, is er aldus een eenduidig verband tussen de [[rij (wiskunde)|rij]]en termen uit die ruimte, en de reeksen.
-De eventuele uitkomst van de [[sommatie]] wordt hetzelfde genoteerd als de reeks.
+De eventuele uitkomst van de [[sommatie]] <math>S</math> wordt hetzelfde genoteerd als de reeks, dus <math>S = a_1+a_2+a_3+\ldots=\sum_{i=1}^\infty a_i</math>.
 == Partieelsommen ==

Reeks (wiskunde): verschil tussen versies

Versie van 29 nov 2015 04:27

Partieelsommen

Convergentie

Reeks met als som plus of min oneindig

Absolute convergentie

Bewijs

Geometrische of meetkundige reeks

Harmonische reeks

Bewijs

Hyperharmonische reeks

Alternerende reeks

Andere typen reeksen

Voorbeeld

Referenties

Zie ook