Primitieve functie

In de wiskunde, meer bepaald de integraalrekening, is een primitieve de gebruikelijke benaming voor wat soms ook primitieve functie, stamfunctie of onbepaalde integraal heet. Indien men primitieven al voor het hoger onderwijs tegenkomt, wordt meestal de term omgekeerde afgeleide gebruikt.

Definitie

Een functie F is een primitieve van de functie f als F differentieerbaar is en de afgeleide van F gelijk is aan f.

Context

De bovenstaande definitie kan in verschillende contexten toegepast worden, al naargelang van wat men onder een differentieerbare functie verstaat. Meestal gaat het om een reëelwaardige functie die op een gegeven interval continu reëel differentieerbaar is. In de complexe analyse zal men de (strengere) eis van complexe differentieerbaarheid (holomorfie) opleggen. In de theorie van de Lebesgue-integraal zijn F en f klassen van onderling equivalente functies (functies die slechts op een nulverzameling verschillen), en dan is F bijna overal reëel differentieerbaar, en is de afgeleide bijna overal gelijk aan f.

Als F een primitieve is van f, en C is een constante, dan is F+C eveneens een primitieve van f. Men zegt soms dat een primitieve "op een constante na bepaald is".

Voorbeelden

In de onderstaande voorbeelden is x de onafhankelijke veranderlijke van een reële of complexe functie.

x en x+3 zijn primitieven van de constante 1.

${\tfrac {1}{2}}x^{2}\,$ is een primitieve van $x\,$

sin(x) is een primitieve van cos(x)

Noteer $1_{R^{+}}(x)$ voor de functie die de waarde 1 aanneemt voor alle positieve x en de waarde 0 elders. Noteer $1_{R^{-}}(x)$ voor de functie die de waarde 1 aanneemt voor alle negatieve x en de waarde 0 elders. Dan is voor elke twee reële constanten a en b, de functie $\ln |x|+a\cdot 1_{R^{+}}(x)+b\cdot 1_{R^{-}}(x)$ een primitieve van $1 \over x$ . Merk op dat het domein van deze functie en haar primitieven de waarde $x=0$ uitsluit. Doordat het domein niet samenhangend is, zijn twee onafhankelijke constanten mogelijk.

Hoofdstelling van de integraalrekening

Zij $F$ een primitieve van $f$ en laat het gesloten interval $[a,b]$ tot het inwendige van het domein van $f$ behoren. Dan geldt

\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)

met andere woorden, afgeleide en integraal zijn omgekeerde bewerkingen. Ook volgt hieruit dat een bepaalde integraal kan worden berekend met behulp van een onbepaalde integraal ofwel de primitieve.

De hoofdstelling van de integraalrekening geldt ook in de Lebesgue-integratietheorie, op voorwaarde dat het gelijkteken als bijna overal gelijk geïnterpreteerd wordt.