Polynoom: verschil tussen versies

In de wiskunde is een polynoom of veelterm, ook wel algebraïsche uitdrukking genoemd, in één variabele x een uitdrukking van de vorm:

\,a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n},

waarin n een natuurlijk getal is en de getallen ak (k = 0...n) de coëfficiënten van de polynoom heten. Als de coëfficiënt an van de hoogste macht van x ongelijk is aan 0, heet n de graad van de polynoom.

Een veelterm of polynoom is dus een uitdrukking waarin slechts twee basisbewerkingen van de rekenkunde (optelling en vermenigvuldiging) een eindig aantal keren voorkomen, of een uitdrukking die op die manier herschreven kan worden. We onderscheiden reële veeltermen, waarin alleen reële getallen voorkomen, en complexe veeltermen, waarin complexe getallen voorkomen.

Polynomen vormen een belangrijke klasse van functies met veel toepassingen. Het zijn relatief eenvoudige gladde functies, dat wil zeggen dat zij continu en (willekeurig vaak) differentieerbaar zijn. Zij worden onder meer gebruikt als benadering voor ingewikkelder functies. In Nederland wordt een polynoom in het algemeen aangegeven met een f. De verzameling van alle polynomen wordt genoteerd met $\mathbb {P}$ . De verzameling van alle polynomen van graad $m\leq n$ wordt genoteerd met $\mathbb {P} _{n}$ . Beide verzamelingen vormen een reële vectorruimte.

Toelichting

De constante veelterm 0 (de nulveelterm die voor alle x de uitkomst 0 oplevert) heeft geen graad; elke andere constante veelterm heeft de graad 0. Veeltermen van de graad 1 heten lineaire veeltermen (ofschoon affien een juistere benaming zou zijn), veeltermen van de graad 2 zijn kwadratische veeltermen. Veeltermen van graad 3 heten derdegraads (Engels: cubic), veeltermen van graad 4 heten vierdegraads (Engels: quartic) en veeltermen van graad 5 zijn vijfdegraads veeltermen (Engels: quintic).

De verzameling waaruit de coëfficiënten worden gekozen, dient minimaal een commutatieve ring te vormen, zoals bijvoorbeeld die der gehele getallen, breuken, reële getallen of complexe getallen. We spreken dan van veeltermen over $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Q}$ , $\mathbb {R}$ of $\mathbb {C}$ .

Als men van een veelterm over $\mathbb {R}$ de grafiek tekent, krijgt men een kromme in het platte vlak:

eerstegraadsveeltermen corresponderen met rechte lijnen, en
tweedegraadsveeltermen corresponderen met parabolen.

Een veelterm kan worden opgevat als vector in een meerdimensionale ruimte waarin de coëfficiënten als coördinaten optreden (als de standaard basis wordt gebruikt). De verzameling van alle veeltermen van graad $<n$ vormt een n-dimensionale vectorruimte.

Na de 'ontdekking' van de complexe getallen is de hoofdstelling van de algebra geformuleerd die zegt dat elke veelterm van graad n over het lichaam van de complexe getallen kan worden ontbonden in n lineaire (dat wil zeggen eerstegraads) factoren:

\,a_{n}(x-b_{1})(x-b_{2})...(x-b_{n})

.

De getallen b_k $(k=0...n)$ staan bekend als de nulpunten van de veelterm, of als wortels van de bijbehorende algebraïsche vergelijking (zie hierna). Men noemt het aantal keren dat de betrokken factor in de ontbinding voorkomt de multipliciteit van het nulpunt, en het aantal nulpunten van een veelterm is, als we elk nulpunt even vaak meetellen als zijn multipliciteit, dus gelijk aan de graad.

Veeltermen over $\mathbb {R}$ kunnen beschouwd worden als speciale gevallen van veeltermen over $\mathbb {C}$ . Zij hebben dus eveneens n complexe nulpunten, die in bijzondere gevallen reëel zijn. Hier geldt de eigenschap dat elke reële veelterm van oneven graad ten minste één reëel nulpunt heeft, en dat de niet-reële (eigenlijke complexe) nulpunten steeds in complex toegevoegde paren voorkomen. Opmerking: er is geen algoritme die voor willekeurige veeltermen van een graad groter dan 4 een nulpunt kan vinden; de $b_{k}$ bestaan dus wel, maar zijn voor veeltermen van hogere graad doorgaans niet exact te bepalen.

Een breuk van twee veeltermen heet een rationale functie. De nulpunten van de teller heten nulpunten en die van de noemer polen.

Nulpunten van een veelterm

Een veelterm is vastgelegd door zijn (complexe) nulpunten en een multiplicatieve constante:

\,p(x)=c(x-b_{1})(x-b_{2})\cdots (x-b_{n}),

waarin de $b_{k}$ de nulpunten zijn van de veelterm.

Omgekeerd zijn die nulpunten de oplossingen van de vergelijking die ontstaat door de veelterm gelijk aan nul te stellen; zo ontstaat een algebraïsche vergelijking met één onbekende (x) van de volgende vorm:

\,a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0

.

Hierin is elke $a_{k}$ een constante die de k-de graads coëfficiënt genoemd wordt. De graad van de veelterm, dit is de grootste waarde van k waarvoor geldt dat $a_{k}\neq 0$ , wordt ook de graad van de vergelijking genoemd. Alleen de vergelijking 0 = 0 heeft geen graad, omdat hier alle coëfficiënten gelijk aan nul zijn.

Een speciaal geval vormen de veeltermen met gehele coëfficiënten. Een nulpunt van zo'n veelterm wordt een algebraïsch getal genoemd. Een getal dat niet algebraïsch is, maar wel reëel, is noemt men een transcendent getal.

Deling van veeltermen met een staartdeling

Bij de deling van een veelterm door een veelterm van lagere (of gelijke) graad kan gebruikgemaakt worden van een staartdeling; deze rekenwijze staat bekend als de delingsalgoritme. Als we de eerstgenoemde veelterm aanduiden als p(x) (het deeltal), en de andere veelterm als d(x) (de deler), dan kan men schrijven:

\!\,p(x)=q(x)d(x)+r(x)

,

waarin de veelterm q(x) het quotiënt en de veelterm r(x) de rest voorstellen. Als de graad van p(x) gelijk is aan P, en die van d(x) is D, dan geldt dat de graad van q(x) gelijk is aan P-D en die van r(x) ten hoogste gelijk is aan D-1, tenzij de rest precies 0 is. In het laatste geval komt deze staartdeling precies uit en is de veelterm p(x) ontbonden in de twee veeltermen q(x) en d(x) van lagere graad (merk op dat de som van de graden van q(x) en d(x) gelijk is aan die van p(x)). We noemen p(x) dan deelbaar door d(x) (en natuurlijk ook door q(x)).

Voorbeeld

x+1 / 4x³+5x²+3x+2 \ 4x²+x+2
      4x³+4x²
      -------
           x²+3x+2
           x²+ x 
           -------
              2x+2
              2x+2
              ----
                 0

Hieruit concluderen we: 4x³+5x²+3x+2 = (4x²+x+2)(x+1). Toelichting: voor de / staat de deler, tussen de / en de \ staat het deeltal; steeds wordt de hoogste macht van x aangepakt; de eerste keer wordt de term met 4x³ verwerkt door x+1 te vermenigvuldigen met 4x²; het product wordt afgetrokken van het deeltal, en de 4x² achter de \ geschreven; deze tweedegraads term vormt het begin van het quotiënt; in de navolgende stappen wordt steeds het restant (in de staart) verder afgebroken door op overeenkomstige wijze de term met de hoogste graad te verwijderen. Zodra de graad van het restant kleiner is dan die van de deler stopt men met de berekening. Het quotiënt staat nu achter de \ en de rest onderaan de staart. De werkwijze komt precies overeen met die bij staartdeling van getallen; in wezen vormt deze vorm een generalisatie: invullen van 10 voor de x en beperking tot veeltermen waarin geen minteken voorkomt levert de uit de rekenkunde bekende staartdeling.

Rest- en factorstelling

Men kan eenvoudig controleren of een veelterm $p(x)$ een factor $x-b$ bezit: deel $p(x)$ door $x-b$ . De rest $r(x)$ bij deling heeft de graad 0 (of is de nulveelterm 0). We weten dan dat $r(x)$ constant is. Omdat $p(x)=q(x)d(x)+r(x)$ en $d(x)=x-b$ levert substitueren van $b$ voor $x$ de betrekking $p(b)=q(b)0+r(b)$ op. We vinden de rest na deling door $x-b$ dus door in $p(x)$ de $x$ door $b$ te vervangen (dit heet de reststelling). Op deze reststelling zijn overigens (in het tientallige stelsel) nog de negenproef en de elfproef gebaseerd. Is de rest $0$ , dus is $p(b)=0$ , dan moet $p(x)$ dus een factor $x-b$ bezitten (dit heet de factorstelling).

In het hierboven gegeven voorbeeld blijkt x+1 dus een factor van 4x³+5x²+3x+2 te zijn, hetgeen tevoren al gecontroleerd had kunnen worden: inderdaad levert -1 invullen voor x in de gegeven derdegraads veelterm: 4(-1)³ + 5(-1)² + 3(-1) + 2 = -4+5-3+2 = 0 (in het tientallig stelsel is dit juist de elfproef).

Differentiëren van veeltermen

Differentiatie van een veelterm met graad n>0 verlaagt de graad met 1. Bijvoorbeeld geeft differentiatie van de eerder gebruikte veelterm van de derde graad 4x³+5x²+3x+2 de veelterm 12x²+10x+3 van de tweede graad. Differentiatie van een veelterm van graad 0 (van een constante veelterm dus) levert de nulveelterm.

Hornerschema

Het Hornerschema is een algoritme om efficiënt een veelterm in een punt x₀ te evalueren.

Veeltermen in meer variabelen

Er zijn ook veeltermen in meer dan een variabele. Een veelterm in m variabelen (x₁ tot x_m) van de orde n, is dan een uitdrukking van de volgende vorm (of daartoe herleidbaar):

a_{0}+\sum _{1\leq k\leq m}a_{1,k}x_{k}+\sum _{1\leq k_{1}\leq k_{2}\leq m}a_{2,k_{1},k_{2}}x_{k_{1}}x_{k_{2}}+...+\sum _{1\leq k_{1}\leq ...\leq k_{n}\leq m}a_{n,k_{1},...,k_{n}}x_{k_{1}}\cdots x_{k_{n}}

,

waarin ten minste een van de coëfficiënten $a_{n,k_{1},...,k_{n}}$ ongelijk is aan 0. Men spreekt wel van multinomiale functies. Zo'n veelterm kan ook geschreven worden als:

\sum _{m_{1},\dots ,m_{n}}a_{m_{1},\dots ,m_{n}}x_{1}^{m_{1}}\cdots x_{n}^{m_{n}},

waarin slechts eindig veel coëfficiënten ongelijk aan 0 zijn. De hoogste voorkomende macht $m_{i}$ heet de graad van de variabele $x_{i}$ . Het getal $m_{1}+\dots +m_{n}$ heet de graad van de term $a_{m_{1},\dots ,m_{n}}x_{1}^{m_{1}}\cdots x_{n}^{m_{n}}$ . Het maximum van de graden van de afzonderlijke termen heet de graad van de polynoom.

Voorbeeld

De volgende veelterm in 3 variabelen x,y en z is van de orde 4 (voor het gemak zijn alle coëfficiënten geheeltallig gekozen, en de termen zijn in volgorde van opklimmende orde (of graad) neergeschreven):

\!\,4+x-2y+7z+x^{2}+3y^{2}-13xz-yz-y^{3}+8z^{3}+2x^{2}y-x^{2}z+8y^{2}z+xyz+11x^{4}-xyz^{2}

.

Speciale veeltermen

Enkele speciale typen veeltermen hebben een eigen naam, waaronder:

Zie ook

Veeltermen worden veel toegepast in algoritmen, onder andere:

Savitsky-Golay filters

Externe links

Mediabestanden die bij dit onderwerp horen, zijn te vinden op de pagina Polynoom op Wikimedia Commons.

@@ Regel 1: / Regel 1: @@
 [[Bestand:Polynomialdeg2.png|thumb|Grafiek van de veelterm y = x<sup>2</sup> - x - 2.]]
+In de [[wiskunde]] is een  '''polynoom''' of '''veelterm''', ook wel '''algebraïsche uitdrukking''' genoemd, in één [[variabele]] ''x'' een [[uitdrukking (wiskunde)|uitdrukking]] van de vorm:
+:<math>\, a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n,</math>
-In de [[wiskunde]] is de gebruikelijke definitie van een '''polynoom''' of '''veelterm''' een [[Functie (wiskunde)|functie]] van de vorm:
+waarin ''n'' een [[natuurlijk getal]] is en de getallen {{math|a{{sub|''k''}}}} ''{{math|(k {{=}} 0...n)}}'' de [[coëfficiënt]]en van de polynoom heten. Als de coëfficiënt {{math|a{{sub|''n''}}}}  van de hoogste macht van ''x'' ongelijk is aan 0, heet ''n'' de [[graad (polynoom)|graad]] van de polynoom.
-:<math>a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n,</math>
-waarin ''x'' de [[variabele]] is, ''n'' een [[natuurlijk getal]] is en de getallen {{math|a{{sub|''k''}}}} ''{{math|(k {{=}} 0...n)}}'' de [[coëfficiënt]]en van de polynoom heten. In een polynoom moet in ieder geval de variabele ''x'' één keer voorkomen. Als de coëfficiënt {{math|a{{sub|''n''}}}}  van de hoogste macht van ''x'' ongelijk is aan 0, heet ''n'' de [[Graad (polynoom)|graad]] van het polynoom.
 Een veelterm of polynoom is dus een uitdrukking waarin slechts twee [[Basisoperatie (wiskunde)|basisbewerkingen]] van de [[rekenkunde]] ([[optelling]] en [[vermenigvuldigen|vermenigvuldiging]]) een [[eindigheid|eindig]] aantal keren voorkomen, of een uitdrukking die op die manier herschreven kan worden. We onderscheiden reële veeltermen, waarin alleen [[reëel getal|reële getallen]] voorkomen, en complexe veeltermen, waarin [[complex getal|complexe getallen]] voorkomen.
@@ Regel 82: / Regel 80: @@
 Het [[Hornerschema]] is een [[algoritme]] om efficiënt een veelterm in een punt ''x''<sub>0</sub> te evalueren.
-== Polynomen in meer variabelen ==
+== Veeltermen in meer variabelen ==
-Naar voorbeeld van polynomen in één variabele zijn er bepaalde [[Uitdrukking (wiskunde)|uitdrukkingen]] in meer dan een variabele, die polynomen worden genoemd. Een veelterm in ''m'' variabelen (''x''<sub>1</sub> tot ''x<sub>m''</sub>) van de orde ''n'', is dan een uitdrukking van de volgende vorm (of daartoe herleidbaar):
+Er zijn ook veeltermen in meer dan een variabele. Een veelterm in ''m'' variabelen (''x''<sub>1</sub> tot ''x<sub>m''</sub>) van de orde ''n'', is dan een uitdrukking van de volgende vorm (of daartoe herleidbaar):
 :<math>a_0 + \sum_{1\leq k \leq m} a_{1,k} x_k + \sum_{1 \leq k_1 \leq k_2 \leq m}a_{2,k_1,k_2} x_{k_1} x_{k_2} + ... + \sum_{1 \leq k_1 \leq ... \leq k_n \leq m} a_{n,k_1,...,k_n} x_{k_1}\cdots x_{k_n}</math>,

Versie van 23 sep 2013 20:32

Toelichting

Nulpunten van een veelterm

Deling van veeltermen met een staartdeling

Voorbeeld

Rest- en factorstelling

Differentiëren van veeltermen

Hornerschema

Veeltermen in meer variabelen

Voorbeeld

Speciale veeltermen

Zie ook

Externe links