Perfect getal

Een perfect getal of volmaakt getal is een positief natuurlijk getal dat gelijk is aan de som van zijn echte delers (dus buiten zichzelf, 1 wordt als echte deler meegerekend). In formulevorm: als s(n) de som is van alle delers van n, met uitzondering van n zelf, dan noemen we n een perfect getal als geldt s(n) = n.

De oude Grieken kenden alleen de eerste vier perfecte getallen.

Perfect getal	Som van zijn delers	ontbinding
6	1 + 2 + 3	2¹(2²−1)
28	1 + 2 + 4 + 7 + 14	2²(2³−1)
496	1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248	2⁴(2⁵−1)
8128	1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064	2⁶(2⁷−1)
33.550.336		2¹²(2¹³−1)

Een alternatieve definitie is als volgt te geven. Met σ(n) wordt aangeduid de som van alle positieve delers van n, inclusief 1 en n zelf. Een getal n is perfect als σ(n) = 2n.

Geschiedenis van perfecte getallen

Vermoedelijk maakten de oude Egyptenaren al studies van perfecte getallen. Het is bekend dat Pythagoras perfecte getallen onderzocht. Perfecte getallen hadden in die tijd een religieuze status. In de beginjaren van het christendom bijvoorbeeld was er een theorie dat de getallen 6 en 28 door God gekozen waren als perfecte getallen: 6 is het aantal dagen waarin God de aarde had geschapen en 28 het aantal dagen waarin de maan om de aarde draait. De heilige Augustinus (354-430) schreef ooit: Zes is geen perfect getal omdat God de aarde in zes dagen geschapen heeft, maar God heeft de aarde in zes dagen geschapen omdat zes een perfect getal is.

Nicomachus van Gerasa kwam rond het jaar 100 met de volgende vijf stellingen, zonder deze overigens te bewijzen (inmiddels is bekend dat stelling 1 en 3 onjuist zijn):

Het n-de perfecte getal heeft n cijfers
Alle perfecte getallen zijn even
Perfecte getallen eindigen alternerend op een 6 of een 8
Perfecte getallen zijn te schrijven als 2ⁿ⁻¹(2ⁿ−1) als 2ⁿ−1 een priemgetal is (zie ook boven)
Er zijn oneindig veel perfecte getallen

Deze stellingen zijn in Europa eeuwenlang voor waar aangenomen. De Europeanen waren gedurende de vroege Middeleeuwen onbekend met het wiskundig onderzoek in de Arabische landen, onder andere door Ibn al-Haytham en Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus. De laatste wiskundige stelde in het begin van de 13e eeuw een lijst op met tien perfecte getallen, waarvan de eerste zeven inderdaad juist zijn, maar deze lijst raakte pas eeuwen later in Europa bekend.^[1] De vierde stelling van Nicomachus werd in Europa veralgemeend tot: Perfecte getallen zijn te schrijven als 2ⁿ⁻¹(2ⁿ−1) voor alle oneven getallen n.

In 1536 bewees Hudalrichus Regius dat deze veralgemening niet klopte voor n=11: 2¹⁰(2¹¹−1) is geen perfect getal. Ook bewees hij dat 2¹²(2¹³−1) = 33.550.336 het vijfde perfecte getal is. Hiermee was meteen het ongelijk van de eerste stelling van Nicomachus bewezen: het vijfde perfecte getal heeft een lengte van acht cijfers. In 1603 vond Pietro Cataldi het zesde perfecte getal 2¹⁶(2¹⁷−1) = 8.589.869.056. Hiermee was bewezen dat de derde stelling van Nicomachus niet klopte, aangezien zowel het vijfde als het zesde perfecte getal op een zes eindigen. Cataldi vond ook het zevende perfecte getal 2¹⁸(2¹⁹−1) = 137.438.691.328. Cataldi claimde nog een viertal andere perfecte getallen gevonden te hebben, maar later werd aangetoond dat slechts een van deze vier getallen juist was.

Wiskundige eigenschappen

Er is een aardig verband tussen perfecte getallen en een speciaal soort priemgetallen, de mersennepriemgetallen. Mersennepriemgetallen zijn priemgetallen van de vorm 2ⁿ−1, waarbij n een priemgetal is. Er geldt namelijk: als 2ⁿ−1 een priemgetal is, dan is 2ⁿ⁻¹(2ⁿ−1) een perfect getal. Het omgekeerde geldt ook: ieder (in ieder geval even) perfect getal kan geschreven worden als 2ⁿ⁻¹(2ⁿ−1) waarbij n een priemgetal is en 2ⁿ−1 een mersennepriemgetal.

Bijvoorbeeld: voor n = 3 geldt dat 2ⁿ−1 = 2³−1 = 7 een priemgetal is.
2ⁿ⁻¹(2ⁿ−1) wordt dan 2²(2³−1) = 4 × 7 = 28 is een perfect getal.

Alle even perfecte getallen zijn tevens zeshoeksgetal, driehoeksgetal en harmonisch-delergetal.

Ook is de som van de inversen van de delers van een perfect getal (exclusief 1, inclusief de inverse van het getal zelf) altijd 1, bijvoorbeeld voor het getal 6:
2^-1 + 3^-1 + 6^-1 = 1.

Het is nog onbekend of er ook oneven perfecte getallen bestaan. Tot februari 2013 is er nog geen gevonden. Wel is al zeker dat als er een oneven perfect getal is, dit groter dan 10¹⁵⁰⁰ moet zijn. Het moet ook minstens 101 verschillende priemfactoren hebben en een van de priemfactoren moet groter zijn dan 10⁶².

Meervoudig perfecte getallen

Met "meervoudig perfect getal" bedoelt men een getal dat een exacte deler is van de som van al zijn delers, zichzelf inbegrepen. Het quotiënt is de meervoudigheid.^[2]

"Gewone" perfecte getallen hebben meervoudigheid 2; bijvoorbeeld 6 = (1+2+3+6)/2. Enkele voorbeelden van getallen met hogere meervoudigheid zijn:

120 = 2³.3.5 heeft meervoudigheid 3; de som van de delers is 360;
30240 = 2⁵.3³.5.7 heeft meervoudigheid 4; de som van de delers is 120960;
14182439040 = 2⁷.3⁴.5.7.11².17.19 heeft meervoudigheid 5.^[2]

Anno 2014 heeft men meervoudig perfecte getallen gevonden tot meervoudigheid 11. Men vermoedt dat er voor elke meervoudigheid groter dan 2 slechts een eindig aantal meervoudig perfecte getallen zijn.^[3]

Stel getal g heeft als ontbinding in priemfactoren:

g=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{n_{i}}

Als g een meervoudig perfect getal met meervoudigheid n is, moet deze gelijkheid opgaan:

n.g=\prod _{i=1}^{r}(\sum _{j=0}^{n_{i}}p_{i}^{j})

Voorbeeld: voor g=120 is het rechterlid gelijk aan (1+2+4+8)(1+3)(1+5) = 15.4.6 = 360 = 3.120.

Hieruit kan men afleiden dat:

n<\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}

Meervoudig perfecte getallen met meervoudigheid n=3 moeten minstens 3 verschillende priemfactoren hebben. Geen enkel product $\prod _{i=1}^{2}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}$ met twee verschillende priemgetallen is immers groter dan 3; het grootste is ${\tfrac {2}{1}}.{\tfrac {3}{2}}=3$ , dat niet groter is dan 3.

Analoog blijkt dat een meervoudig perfect getal met meervoudigheid 4 minstens 4 verschillende priemfactoren moet hebben, want ${\tfrac {2}{1}}.{\tfrac {3}{2}}.{\tfrac {5}{4}}.{\tfrac {7}{6}}$ is groter dan 4, terwijl geen enkel product met drie verschillende priemfactoren groter is dan 4.

Op dezelfde manier vindt men dat meervoudig perfecte getallen met meervoudigheid 5 minstens 6 verschillende priemfactoren moeten hebben; die met meervoudigheid 6 minstens 9; die met meervoudigheid 7 minstens 14, enzovoort.^[2]

Voetnoten

[1] (en) Pagina 328 uit het werk "The Development of Arabic Mathematics" door "Rushdī Rāshid"

[lehmer-2] Derrick N. Lehmer. "Multiply Perfect Numbers". Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 2, No. 1/4 (1900 - 1901), blz. 103-104. DOI:10.2307/2007188

[3] Achim Flammenkamp: Multiply perfect numbers

[1]

[2]

[3]