Partitie (getaltheorie): verschil tussen versies
kGeen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 138: | Regel 138: | ||
[[Categorie:Getaltheorie]] |
[[Categorie:Getaltheorie]] |
||
[[Categorie:Combinatoriek]] |
[[Categorie:Combinatoriek]] |
||
[[Categorie:Rij van gehele getallen]] |
Versie van 9 mrt 2015 15:45
In de getaltheorie is de partitie van een positief natuurlijk getal n een manier om dat getal te schrijven als een som van positieve natuurlijke getallen. Het aantal partities van n is gegeven door de partitiefunctie p(n).
Voorbeelden
De partities van 4:
- 4
- 3 + 1
- 2 + 2
- 2 + 1 + 1
- 1 + 1 + 1 + 1
De partities van 8:
- 8
- 7 + 1
- 6 + 2
- 6 + 1 + 1
- 5 + 3
- 5 + 2 + 1
- 5 + 1 + 1 + 1
- 4 + 4
- 4 + 3 + 1
- 4 + 2 + 2
- 4 + 2 + 1 + 1
- 4 + 1 + 1 + 1 + 1
- 3 + 3 + 2
- 3 + 3 + 1 + 1
- 3 + 2 + 2 + 1
- 3 + 2 + 1 + 1 + 1
- 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
- 2 + 2 + 2 + 2
- 2 + 2 + 2 + 1 + 1
- 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1
- 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
- 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
Partitiefunctie
De partitiefunctie p(n) is gelijk aan het aantal mogelijke partities van een getal n. Bijvoorbeeld p(4)=5. Door conventie is p(0) = 1 en p(n) = 0 voor n een negatief geheel getal.
Waarden
- p(1) = 1
- p(2) = 2
- p(3) = 3
- p(4) = 5
- p(5) = 7
- p(6) = 11
- p(7) = 15
- p(8) = 22
- p(9) = 30
- p(10) = 42
- p(100) = 190.569.292
- p(200) = 3.972.999.029.388
- p(1000) = 24.061.467.864.032.622.473.692.149.727.991 ≈ 2,4 × 1031
Intermediaire partitiefunctie
De intermediaire partitiefunctie p(k, n) is het aantal partities die alleen maar getallen gebruikt die groter of gelijk zijn aan k. Hier enkele voorbeelden:
- p(1, 4) = 5
- p(2, 8) = 7
- p(3, 12) = 9
- p(4, 16) = 11
- p(5, 20) = 13
- p(6, 24) = 16
De originele partitiefunctie p(n) is dus p(1, n).
Hier volgt een tabel met waarden van p(k, n):
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 1 1 0 0 0 0 0 0 0 4 5 2 1 1 0 0 0 0 0 0 5 7 2 1 1 1 0 0 0 0 0 6 11 4 2 1 1 1 0 0 0 0 7 15 4 2 1 1 1 1 0 0 0 8 22 7 3 2 1 1 1 1 0 0 9 30 8 4 2 1 1 1 1 1 0 10 42 12 5 3 2 1 1 1 1 1
Partities met voorwaarden
Van de 22 partities voor het getal 8 zijn er 6 die partities zijn met enkel oneven getallen:
- 7 + 1
- 5 + 3
- 5 + 1 + 1 + 1
- 3 + 3 + 1 + 1
- 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
- 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
Het aantal partities van 8 die enkel gebruik maakt van verschillende getallen is eveneens gelijk aan 6:
- 8
- 7 + 1
- 6 + 2
- 5 + 3
- 5 + 2 + 1
- 4 + 3 + 1
Leonhard Euler toonde in 1748 aan dat voor alle natuurlijke getallen het aantal partities met oneven getallen altijd gelijk is aan het aantal partities met verschillende getallen. [1]
Externe links
- ↑ Andrews, George E. Number Theory. W. B. Saunders Company, Philadelphia, 1971. Dover edition, page 149–150.