Kwadraatgetal: verschil tussen versies
Dat met die Z-verzameling is wel cryptisch voor de leek |
|||
Regel 1: | Regel 1: | ||
In [[wiskunde]] is een ''' |
In [[wiskunde]] is een '''kwadraatgetal''', soms ook wel een '''perfect vierkant''' genoemd, een [[geheel getal]] dat kan worden geschreven als het [[kwadraat]] van een ander geheel getal; met andere woorden, het is het product van een willekeurig geheel getal met zichzelf. Zo is bijvoorbeeld 9 een kwadraatgetal, omdat het kan worden geschreven als 3 × 3. Kwadraatgetallen zijn [[niet-negatief]]. Een andere manier om te zeggen dat een (niet-negatief) getal een kwadraatgetal is, is dat de [[Wortel (wiskunde)|wortel]] van een kwadraatgetal een geheel getal is. Aangezien <math>\sqrt{9} = 3</math>, is 9 een kwadraatgetal. |
||
==Voorbeelden== |
==Voorbeelden== |
||
De eerste 50 kwadraatgetallen binnen de [[ |
De eerste 50 kwadraatgetallen binnen de [[Natuurlijk getal|natuurlijke getallen]]<ref>{{Link OEIS|id=A000290}}</ref> zijn: |
||
<div style="float:left; padding: 1em;"> |
<div style="float:left; padding: 1em;"> |
||
Regel 70: | Regel 70: | ||
{{Clearboth}} |
{{Clearboth}} |
||
Het patroon tussen de perfecte vierkanten |
Het patroon tussen de perfecte vierkanten van negatief oneindig tot positief oneindig is als volgt: |
||
:<math>n^2 = (n - 1)^2 + (2n - 1).\ </math> |
:<math>n^2 = (n - 1)^2 + (2n - 1).\ </math> |
||
en dus ook |
en dus ook |
||
Regel 76: | Regel 76: | ||
==Eigenschappen== |
==Eigenschappen== |
||
Het getal ''m'' is dan en slechts dan een kwadraatgetal als men de ''m'' punten in een vierkant kan arrangeren: |
Het getal ''m'' is [[Dan en slechts dan als|dan en slechts dan]] een kwadraatgetal als men de ''m'' punten in een vierkant kan arrangeren: |
||
{| cellpadding="8" |
{| cellpadding="8" |
||
|- |
|- |
||
Regel 96: | Regel 96: | ||
|} |
|} |
||
De uitdrukking voor het ''n''- |
De uitdrukking voor het ''n''-de kwadraatgetal is ''n''<sup>2</sup>. Dat dit ook gelijk is aan de som van de eerste ''n'' [[oneven|oneven getal]]len kan men zien in de bovenstaande plaatjes, waar een vierkant de som is van het voorgaande vierkant met daarbij een oneven aantal punten (in cyaan) opgeteld. De formule volgt: |
||
:<math>n^2 = \sum_{k = 1}^n(2k-1)</math>. |
:<math>n^2 = \sum_{k = 1}^n(2k-1)</math>. |
||
Zo is bijvoorbeeld 5<sup>2</sup> = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9. |
Zo is bijvoorbeeld 5<sup>2</sup> = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9. |
||
Regel 118: | Regel 118: | ||
{{Appendix}} |
{{Appendix}} |
||
{{DEFAULTSORT:Kwadraatgetal}} |
|||
[[Categorie:Algebra]] |
[[Categorie:Algebra]] |
||
[[Categorie:Figuratief getal]] |
[[Categorie:Figuratief getal]] |
Versie van 6 jan 2017 22:33
In wiskunde is een kwadraatgetal, soms ook wel een perfect vierkant genoemd, een geheel getal dat kan worden geschreven als het kwadraat van een ander geheel getal; met andere woorden, het is het product van een willekeurig geheel getal met zichzelf. Zo is bijvoorbeeld 9 een kwadraatgetal, omdat het kan worden geschreven als 3 × 3. Kwadraatgetallen zijn niet-negatief. Een andere manier om te zeggen dat een (niet-negatief) getal een kwadraatgetal is, is dat de wortel van een kwadraatgetal een geheel getal is. Aangezien , is 9 een kwadraatgetal.
Voorbeelden
De eerste 50 kwadraatgetallen binnen de natuurlijke getallen[1] zijn:
- 212 = 441
- 222 = 484
- 232 = 529
- 242 = 576
- 252 = 625
- 262 = 676
- 272 = 729
- 282 = 784
- 292 = 841
- 302 = 900
- 312 = 961
- 322 = 1024
- 332 = 1089
- 342 = 1156
- 352 = 1225
- 362 = 1296
- 372 = 1369
- 382 = 1444
- 392 = 1521
- 402 = 1600
- 412 = 1681
- 422 = 1764
- 432 = 1849
- 442 = 1936
- 452 = 2025
- 462 = 2116
- 472 = 2209
- 482 = 2304
- 492 = 2401
- 502 = 2500
Het patroon tussen de perfecte vierkanten van negatief oneindig tot positief oneindig is als volgt:
en dus ook
Eigenschappen
Het getal m is dan en slechts dan een kwadraatgetal als men de m punten in een vierkant kan arrangeren:
m = 12 = 1 | |
m = 22 = 4 | |
m = 32 = 9 | |
m = 42 = 16 | |
m = 52 = 25 |
De uitdrukking voor het n-de kwadraatgetal is n2. Dat dit ook gelijk is aan de som van de eerste n oneven getallen kan men zien in de bovenstaande plaatjes, waar een vierkant de som is van het voorgaande vierkant met daarbij een oneven aantal punten (in cyaan) opgeteld. De formule volgt:
- .
Zo is bijvoorbeeld 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Het verschil tussen twee willekeurige kwadraatgetallen is een oneven getal of de som van twee opeenvolgende oneven getallen.
Elk kwadraatgetal n2 kan ook geschreven worden als de som van een rekenkundige rij van n getallen met als eerste element (n+1)/2 en als verschil 1:
- 22 = 4 = 1,5 + 2,5
- 32 = 9 = 2 + 3 + 4
- 42 = 16 = 2,5 + 3,5 + 4,5 + 5,5
- 52 = 25 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7
- 62 = 36 = 3,5 + 4,5 + 5,5 + 6,5 + 7,5 + 8,5
- 72 = 49 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
enzoverder. Hieruit blijkt dat als n een oneven getal is, het kwadraat ervan de som is van n opeenvolgende natuurlijke getallen.