Homogene differentiaalvergelijking: verschil tussen versies
k beiden mz beide |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
| Regel 21: | Regel 21: | ||
Hierin kan nu de factor met de k-de macht van x worden weggedeeld. Na vervolgens de termen wat te herschikken vindt men: |
Hierin kan nu de factor met de k-de macht van x worden weggedeeld. Na vervolgens de termen wat te herschikken vindt men: |
||
:<math>\frac{dx}{x} \, + \, \frac{Q(1,t) |
:<math>\frac{dx}{x} \, + \, \frac{Q(1,t)dt}{P(1,t)+t.Q(1,t)} \, = \, 0 </math> |
||
of korter: |
of korter: |
||
Versie van 14 nov 2012 22:54
Een homogene differentiaalvergelijking is een differentiaalvergelijking van eerste orde, met een algemene vorm die kan geschreven worden als:
waarbij P(x,y) en Q(x,y) beide een homogene veelterm van x en y zijn, met gelijke graad k. Dit is wiskundig equivalent met een andere algemene vorm die men regelmatig vindt:
waarbij F(x,y) dan homogeen van orde nul is. In dit artikel wordt de eerste hierboven vermelde algemene vorm behandeld. Het engelstalig artikel over dit onderwerp doet hetzelfde maar dan voor de tweede algemene vorm.
Oplossingsmethode
Gezien P(x,y) en Q(x,y) beiden homogeen zijn met dezelfde graad levert de substitutie:
de vergelijking:
Hierin kan nu de factor met de k-de macht van x worden weggedeeld. Na vervolgens de termen wat te herschikken vindt men:
of korter:
Deze differentiaalvergelijking vertoont nu de kenmerken van een vergelijking waarin scheiden van veranderlijken voorkomt. De algemene oplossing is bijgevolg:
met K een willekeurige constante, en waarin tenslotte de variabele t weer dient te worden vervangen door
Het finale resultaat is een familie impliciete functies van x en y, waarbij de aanwezigheid van de willekeurige reële factor K voor het oneindig aantal oplossingen zorgt.
Voorbeeld
De vergelijking:
is homogeen van orde 1. Na substitutie y = t.x wordt dit:
en tenslotte:
zodat de algemene oplossing wordt:
na subsitutie t = y/x kan dit verder worden herwerkt tot de familie van impliciete functies:
Een herleidbaar geval
Een differentiaalvergelijking van de vorm:
kan worden herleid tot een homogene differentiaalvergelijking door een lineaire verschuiving van het assenkruis, zowel in de x-richting als in de y-richting. De mate waarin wordt verschoven wordt bepaald door de oplossing van het stelsel:
Voorbeeld
Bij de vergelijking:
levert dit stelsel een oplossing:
De subsititutie
maakt van deze differentiaalvergelijking een homogene van graad 1:
Zie ook
Alternatieve methoden om vergelijkingen van de vorm y' = f(x,y) of P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 op te lossen.
