Differentieerbare variëteit

Een differentieerbare variëteit is een variëteit waarop wiskundige analyse (differentiëren en integreren) mogelijk is. Een variëteit kan worden beschreven met behulp van een collectie van kaarten, die ook bekendstaat als een atlas. Op een differentieerbare variëteit kan men op de kaarten de differentiaal- en integraalrekening toepassen. De reden hiervoor is dat kaarten in euclidische ruimten liggen, waarop de gebruikelijke regels van de differentiaal- en integraalrekening van toepassing zijn. Als de kaarten voldoende compatibel zijn (wat wil zeggen dat de overgang van de ene naar de andere kaart differentieerbaar is), dan zijn berekeningen die in een kaart zijn gedaan ook valide in enige andere differentieerbare kaart.

Formeel is een differentieerbare variëteit een topologische variëteit met een globaal gedefinieerde differentieerbare structuur. Door gebruik te maken van homeomorfismen in zijn atlas en de standaard differentieerbare structuur op de euclidische ruimte kan aan elke topologische variëteit lokaal een differentieerbare structuur worden meegegeven. Om een globale differentieerbare structuur op te leggen aan het lokale door homeomorfismen geïnduceerde coördinatensysteem, moeten hun functiecomposities op kaartdoorsneden in de atlas differentieerbare functies in de euclidische ruimte zijn. Met andere woorden, waar de domeinen van de kaarten overlappen, zijn de coördinaten die door elke kaart worden gedefinieerd, verplicht differentieerbaar met betrekking tot de coördinaten die door elke kaart in de atlas worden gedefinieerd. De afbeeldingen die de coördinaten, gedefinieerd door verschillende kaarten, aan elkaar relateren, worden transitieafbeeldingen genoemd.

Differentieerbaarheid betekent in verschillende contexten steeds iets anders: voorbeelden zijn: continue differentieerbaarheid, k-maal differentieerbare en holomorfe functies. Bovendien maakt de mogelijkheid om een dergelijke gedifferentieerde structuur op te leggen aan een abstracte ruimte het mogelijk om de definitie van differentieerbaarheid uit te breiden tot ruimten zonder globale coördinatenstelsels. Een differentiële structuur maakt het mogelijk om globaal differentieerbare raakruimten, differentieerbare functies en differentieerbaar tensor- en vectorvelden te definiëren. Differentieerbare variëteiten zijn zeer belangrijk in natuurkunde. Speciale soorten differentieerbare variëteiten vormen de basis voor natuurkundige theorieën zoals de klassieke mechanica, de algemene relativiteitstheorie en de Yang-Mills-theorie Het is mogelijk om voor differentieerbare variëteiten een calculus te ontwikkelen. Dit leidt tot zulke wiskundige machinerie als de uitwendige calculus. De studie van de calculus op differentieerbare variëteiten staat bekend als differentiaalmeetkunde.

Geschiedenis

De opkomst van de differentiaalmeetkunde als een aparte discipline wordt algemeen toegeschreven aan Carl Friedrich Gauss en Bernhard Riemann. Riemann was de eerste die variëteiten beschreef in zijn beroemde habilitationcollege voor de faculteit van de Universiteit van Göttingen.^[1] Hij motiveerde het idee van een variëteit door een intuïtief proces het een gegeven object in een nieuwe richting te variëren en beschreef met vooruitziende blik de rol van coördinatensystemen en kaarten in de daarop volgende formele ontwikkelingen:

Na de notie van een menigvuldigheid van n dimensies te hebben geconstrueerd, en te hebben gevonden dat haar ware karakter bestaat in de eigenschap dat de vaststelling van de positie er in kan worden teruggebracht tot n bepalingen van grootte, ... - B. Riemann

De werken van natuurkundigen zoals James Clerk Maxwell en wiskundigen zoals Gregorio Ricci-Curbastro en Tullio Levi-Civita ^[2] hebben geleid tot de ontwikkeling van tensoranalyse en de notie van covariantie, die een intrinsieke meetkundige eigenschap identificeert als een die invariant is met betrekking tot coördinatentransformaties. Deze ideeën vonden een belangrijke toepassing in Einsteins algemene relativiteitstheorie en het onderliggende equivalentieprincipe. Een moderne definitie van een 2-dimensionale variëteit werd in 1913 door Hermann Weyl gegeven in zijn boek over Riemann-oppervlakken.^[3] De breed aanvaarde algemene definitie van een variëteit in termen van een atlas is te danken aan de Amerikaanse wiskundige Hassler Whitney ^[4]

Definitie

Een presentatie van een topologische variëteit is een tweedst-aftelbare Hausdorff-ruimte, die door een collectie (een zogenaamde atlas) van homeomorfismen, die kaarten worden genoemd, lokaal homeomorf is aan de Euclidische ruimte. De samenstelling van één kaart met de inverse van een andere kaart is een functie die een transitieafbeelding wordt genoemd en die een homeomorfisme van een open deelverzameling van de Euclidische ruimte op een andere open deelverzameling van de Euclidische ruimte definieert.

Dit formaliseert de notie van het "samenvoegen van delen van de Euclidische ruimte om zo een variëteit te creëren" - de geproduceerde variëteit bevat ook gegevens van hoe deze variëteit is samengevoegd. Verschillende atlassen (samenvoegingen) kunnen echter "dezelfde" variëteit produceren, en omgekeerd kent een variëteit geen voorkeursatlas, en dus definieert men een topologische variëteit als een ruimte zoals hierboven beschreven met een equivalentieklasse van atlassen, waar men de gelijkwaardigheid van atlassen hieronder definieert.

Er bestaan een aantal verschillende typen van differentieerbare variëteiten. Met welk type men precies te maken heeft, hangt af van de precieze differentieerbaarheidseisen, die men inzake de transitiefuncties stelt. Enkele veel voorkomende typen zijn bijvoorbeeld de vier onderstaande.

• Een differentieerbare variëteit is een topologische variëteit die is uitgerust met een equivalentieklasse van een atlas, waarvan de transitieafbeeldingen allen differentieerbaar zijn. Meer in het algemeen is een C^k</sup-variëteit een topologische variëteit met een atlas, waarvan de transitieafbeeldingen allemaal k-maal continu differentieerbaar zijn.
• Een gladde variëteit of C^∞-variëteit is een differentieerbare variëteit, waarvoor alle transitieafbeeldingen glad zijn. Dat wil zeggen dat er voor alle orden een afgeleide bestaat; het is dus een C^k-variëteit die oneindig differentieerbaar is.
• Een analytische variëteit of C^ω-variëteit is een gladde variëteit met de aanvullende voorwaarde dat elke transitieafbeelding analytisch is: de Taylor-expansie is absoluut convergent op enige open bal.
• Een complexe variëteit is een topologische ruimte die is gemodelleerd op een Euclidische ruimte over een complex veld en waarvoor alle transitieafbeeldingen holomorf zijn.

Hoewel er een betekenisvolle notie van een C^{k</sup atlas bestaat, is dit niet het geval voor een Ck</sup variëteit. De enige uitzonderingen zijn C0 (continue afbeeldingen: een topologische variëteit) and C∞ (gladde afbeeldingen: een gladde variëteit), omdat er voor elke Ck</sup-structuur met k > 0 een unieke Ck</sup bestaat - die equivalent is aan C∞ - (elke Ck-structuur is op unieke wijze glad te maken) – een resultaat van Whitney (en verder zijn twee Ck atlassen, die gelijkwaardig zijn aan een enkele C∞ atlas, als Ck atlassen gelijkwaardig, twee onderscheiden Ck atlassen komen dus niet met elkaar in aanvaring); zie de paragraaf differentieerbare structuur: Existentie en uniciteitsstellingen voor verdere details. Zo gebruikt men de termen "differentieerbare variëteit" en "gladde variëteit" door elkaar heen. Dit staat in sterk contract tot Ck afbeeldingen, waar er betekenisvole verschillen voor verschillende k's bestaan. De inbeddingstelling van Nash stelt bijvoorbeeld dat elke variëteit Ck isometrisch ingebed kan zijn in de de Euclidische ruimte RN – voor enige 1 ≤ k ≤ ∞ er is een voldoende grote N, maar N hangt af van k.}

Aan de andere kant leggen complexe variëteiten beduidend striktere eisen op. Als een voorbeeld bepaalt de stelling van Chow dat enige projectieve complexe variëteit in feite een projectieve variëteit is – hij heeft namelijk een algebraïsche structuur.

Atlassen

Een atlas op een topologische ruimte X is een collectie van paren {(U_α,φ_α)}, die kaarten worden genoemd, waar de U_α open verzamelingen zijn, die X overdekken en waar voor elke index α

een homeomorfisme van U_α is op een open deelverzameling van de n-dimensionale Euclidische ruimte. De transitieafbeeldingen van de atlas zijn de functies

Elke topologische variëteit heeft een atlas. Een C^k-atlas is een atlas, waarvan de transitieafbeeldingen C^k zijn. Een topologische variëteit heeft een C⁰-atlas en over het algemeen heeft een C^k-variëteit een C^k-atlas. Een continue atlas is een C⁰ atlas, een gladde atlas is een C^∞-atlas en een analytische atlas is een C^ω-atlas. Als de atlas tenminste C¹ is, wordt het ook een differentieerbare structuur genoemd. Een holomorfe atlas is een atlas, waarvan de onderliggende Euclidische ruimte wordt gedefinieerd op een complex veld en waarvan de transitieafbeeldingen biholomorf zijn.

Compatibele atlassen

Verschillende atlassen kunnen aan de basis liggen van in wezen hetzelfde variëteit. De cirkel kan worden afgebeeld door twee coördinatenkaarten, maar als de domeinen van deze kaarten iets worden veranderd, wordt een verschillende atlas voor hetzelfde variëteit verkregen. Deze verschillende atlassen kunnen in een grotere atlas worden gecombineerd. Het kan gebeuren dat transitieafbeeldingen van een dergelijke gecombineerde atlas niet zo glad zijn als die van de samenstellende atlassen. Als C^k-atlassen kunnen worden gecombineerd tot een C ^k-atlas, dan worden de atlassen compatibel genoemd. Compabiliteit van atlassen is een equivalentierelatie; door alle atlassen in een equivalentieklasse te combineren, kan men een maximale atlas construeren. Elke C^k-atlas behoort tot een unieke maximale C^k-atlas.

Voetnoten