Aliquotrij: verschil tussen versies

In de getaltheorie is de aliquotrij van een natuurlijk getal een rij getallen die begint met dat getal en waarvan verder ieder getal de aliquotsom is van het getal dat in die rij eraan vooraf gaat.^[1] Het komt uit het Latijn, van aliquot, alius, anders en quot, hoeveel.

Voorbeelden

Is $n=6$ , dan is, met $s$ als functie die de aliquotsom van $n$ geeft:^[2]

s(6)=1+2+3=6

, enz.

De aliquotrij van het getal

6

is dan:

6,6,6,...

.

Is $n=18$ , dan is:

s(18)=1+2+3+6+9=21,s(21)=1+3+7=11,s(11)=1,s(1)=0

De aliquotrij van

18

is dan:

18,21,11,1,0

.

De aliquotrij van een willekeurig natuurlijk getal $n$ kan, op basis van bovenstaande definitie, worden geschreven als:

n,s(n),s(s(n)),s(s(s(n))),...

Of, recursief gedefinieerd met $a_{k}$ als algemene term van de rij:

\left\{{\begin{array}{*{35}{l}}(i)&{{a}_{0}}=n\\(ii)&{{a}_{k}}=s({{a}_{k-1}}){\text{,}}\ {\text{voor}}\ k\geq 1\ {\text{en}}\ {{a}_{k-1}}>0\\(iii)&{{a}_{k}}=0,\ {\text{als}}\ {{a}_{k-1}}=0\\\end{array}}\right.

Onderdeel $(iii)$ van deze definitie is toegevoegd, opdat de rijen die met een $0$ zouden eindigen, dan doorlopen met $0,0,0,...$ .^[3]

Eigenschappen

Veel aliquot-rijen eindigen met $0$ , omdat de op twee na laatste term in zo’n rij een priemgetal is (dat per definitie alleen $1$ als echte deler heeft). De eerste vijfendertig getallen met die eigenschap zijn:^[4]

1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,26,27,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38

De aliquotrij van een perfect getal $n$ (zoals de getallen $6$ en $28$ ) eindigt niet, maar repeteert:

n,n,n,...

De aliquotrij van een bevriend getal is eveneens repeterend. Immers, als de getallen $a$ en $b$ bevriend zijn, dan is per definitie $s(a)=b$ en $s(b)=a$ . De aliquotrij van $a$ is dan:

a,b,a,b,...

Er zijn ook aliquot-rijen die repeteren zonder dat het startgetal een perfect of een bevriend getal is.

Voorbeeld. Voor

n=95

is:

s(95)=1+5+19=25,\ s(25)=1+5=6,\ s(6)=6

, enzovoort.

De aliquotrij van

95

is dan:

95,25,6,6,...

.

Vermoeden van Catalan-Dickson

De Belgische wiskundige Catalan (1814-1894) formuleerde in 1888 het volgende vermoeden omtrent aliquot-rijen:

Elke aliquotrij eindigt met een priemgetal of met een perfect getal.

Dit vermoeden is in 1913 is door Dickson (1874-1954) aangescherpt tot:^[5]

Elke aliquotrij eindigt met een priemgetal of met een perfect getal, of gaat over in een repeterende rij.

Het blijft nog steeds bij een vermoeden omdat van enkele getallen niet bekend is hoe ze eindigen. Dit zijn onder meer de zogenoemde Vijf van Lehmer: 276, 552, 564, 660 en 966.^[6]

voetnoten

↑ Het woord aliquot wordt hier gebruikt als een (niet-verbogen) bijvoeglijk naamwoord.
↑ De aliquotsom van een getal is gelijk aan de som van de echte delers van dat getal. Per definitie is $s(1)=0$ .
↑ De regel die in de recursieve definitie is aangegeven met $(iii)$ , kan zonder problemen worden weggelaten.
↑ rij A080907 in OEIS
↑ L.E. Dickson (1913): Theorem and tables on the sums of divisors of a number. In: The Quarterly Journal of Mathematics, vol. 44; pp. 264-296.
↑ (en) M Benito en JL Varona. Advances in aliquot sequences, 1988. in Mathematics of Computation 68, 25, blz 389-393. Gearchiveerd op 22 juli 2018.

literatuur

D. Wells (1986): Woordenboek van eigenaardige en merkwaardige getallen. Amsterdam: Uitgeverij Bert Bakker; pp. 166-167.
F. Beukers (1998): Getaltheorie. Utrecht: Epsilon Uitgaven; pp. 32-39.
(fr) J.P. Delahaye (2002): Nombres aimables et suites aliquotes. In: Pour la science, no. 292; pp. 98-103.
M. Looijen (2015): Over getallen gesproken. Zaltbommel: Van Haren Publishing (VHP), 2e druk (2016); pp. 112-113.

websites

MathWorld. Aliquot Sequence.
(en) Examples of aliquote sequences. Op: PlanetMath.org
(en) R.K. Guy, J.L. Selfridge (1974): What drives an aliquot sequence? In: Mathematics of Computation, vol. 29, nr. 129; pp. 101–107.

[1] Het woord aliquot wordt hier gebruikt als een (niet-verbogen) bijvoeglijk naamwoord.

[2] De aliquotsom van een getal is gelijk aan de som van de echte delers van dat getal. Per definitie is $s(1)=0$ .

[3] De regel die in de recursieve definitie is aangegeven met $(iii)$ , kan zonder problemen worden weggelaten.

[4] rij A080907 in OEIS

[5] L.E. Dickson (1913): Theorem and tables on the sums of divisors of a number. In: The Quarterly Journal of Mathematics, vol. 44; pp. 264-296.

[6] (en) M Benito en JL Varona. Advances in aliquot sequences, 1988. in Mathematics of Computation 68, 25, blz 389-393. Gearchiveerd op 22 juli 2018.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Regel 1: / Regel 1: @@
-In de [[getaltheorie]] is de '''aliquotrij''' van een [[natuurlijk getal]] een [[rij (wiskunde)|rij]] [[getal (wiskunde)|getal]]len die begint met dat getal en waarvan verder elk getal de [[aliquotsom]] is van het getal dat in die rij eraan vooraf gaat.<ref>Het woord ''aliquot'' wordt hier gebruikt als een (niet-verbogen) bijvoeglijk naamwoord.</ref>
+In de [[getaltheorie]] is de '''aliquotrij''' van een [[natuurlijk getal]] een [[Rij (wiskunde)|rij]] getallen die begint met dat [[Getal (wiskunde)|getal]] en waarvan verder ieder getal de [[aliquotsom]] is van het getal dat in die rij eraan vooraf gaat.<ref>Het woord ''aliquot'' wordt hier gebruikt als een (niet-verbogen) bijvoeglijk naamwoord.</ref> Het komt uit het [[Latijn]], van [[aliquot]], ''alius'', anders en ''quot'', hoeveel.
-;Voorbeelden
+; Voorbeelden
-* Is <math>n = 6</math>, dan is, met <math>s</math> als [[functie (wiskunde)|functie]] die de aliquotsom van <math>n</math> geeft:<ref>De aliquotsom van een getal is gelijk aan de som van de ''echte'' delers van dat getal. Per definitie is <math>s(1) = 0</math>.</ref>
+* Is <math>n = 6</math>, dan is, met <math>s</math> als [[Functie (wiskunde)|functie]] die de aliquotsom van <math>n</math> geeft:<ref>De aliquotsom van een getal is gelijk aan de som van de echte delers van dat getal. Per definitie is <math>s(1) = 0</math>.</ref>
-::<math>s(6) = 1 + 2 + 3 = 6</math>, enz.
+:: <math>s(6) = 1 + 2 + 3 = 6</math>, enz.
 : De aliquotrij van het getal <math>6</math> is dan: <math>6, 6, 6, ...</math>.
 * Is <math>n = 18</math>, dan is:
-::<math>s(18) = 1+  2 + 3 + 6 + 9 = 21, s(21) = 1 + 3 + 7 = 11, s(11) = 1, s(1) = 0</math>
+:: <math>s(18) = 1+  2 + 3 + 6 + 9 = 21, s(21) = 1 + 3 + 7 = 11, s(11) = 1, s(1) = 0</math>
-:De aliquotrij van <math>18</math> is dan: <math>18, 21, 11, 1, 0</math>.
+: De aliquotrij van <math>18</math> is dan: <math>18, 21, 11, 1, 0</math>.
 De aliquotrij van een willekeurig natuurlijk getal <math>n</math> kan, op basis van bovenstaande definitie, worden geschreven als:
@@ Regel 20: / Regel 20: @@
 == Eigenschappen ==
-* Veel aliquot-rijen eindigen met <math>0</math>, omdat de op twee na laatste term in zo’n rij een [[priemgetal]] is (dat per definitie alleen <math>1</math> als echte deler heeft). De eerste vijfendertig getallen met die eigenschap zijn:<ref>Zie rij: [https://oeis.org/A080907 A08907 - Numbers whose aliquot sequences terminates in 1 (or 0)]. Op: [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]].</ref>
+* Veel aliquot-rijen eindigen met <math>0</math>, omdat de op twee na laatste term in zo’n rij een [[priemgetal]] is (dat per definitie alleen <math>1</math> als echte deler heeft). De eerste vijfendertig getallen met die eigenschap zijn:<ref>{{Link OEIS|id=A080907}}</ref>
-::<math>1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38</math>
+:: <math>1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38</math>
 * De aliquotrij van een [[perfect getal]] <math>n</math> (zoals de getallen <math>6</math> en <math>28</math>) eindigt niet, maar ''repeteert'':
 :: <math>n,n,n,...</math>
@@ Regel 27: / Regel 27: @@
 :: <math>a,b,a,b,...</math>
 * Er zijn ook aliquot-rijen die repeteren zonder dat het startgetal een perfect of een bevriend getal is.
-:'''Voorbeeld'''. Voor <math>n = 95</math> is:
+: Voorbeeld. Voor <math>n = 95</math> is:
-::<math>s(95)=1+5+19=25,\ s(25)=1+5=6,\ s(6)=6</math>, enz.
+:: <math>s(95) = 1+5+19=25,\ s(25)=1+5=6,\ s(6)=6</math>, enzovoort.
-:De aliquotrij van <math>95</math> is dan: <math>95, 25, 6, 6, ...</math>.
+: De aliquotrij van <math>95</math> is dan: <math>95, 25, 6, 6, ...</math>.
 == Vermoeden van Catalan-Dickson ==
-In 1888 formuleerde de Belgische wiskundige [[Eugène Charles Catalan|Catalan]] (1814-1894) het volgende vermoeden omtrent aliquot-rijen:
+De Belgische wiskundige [[Eugène Charles Catalan|Catalan]] (1814-1894) formuleerde in 1888 het volgende vermoeden omtrent aliquot-rijen:
 : ''Elke aliquotrij eindigt met een priemgetal of met een perfect getal.''
-In 1913 is dit vermoeden aangescherpt door [[Leonard Eugene Dickson|Dickson]] (1874-1954) tot:<ref>{{aut|L.E. Dickson (1913):}} ''Theorem and tables on the sums of divisors of a number''. In: ''The Quarterly Journal of Mathematics'', vol. 44; pp. 264-296.</ref>
+Dit vermoeden is in 1913 is door [[Leonard Eugene Dickson|Dickson]] (1874-1954) aangescherpt tot:<ref>{{aut|L.E. Dickson (1913):}} ''Theorem and tables on the sums of divisors of a number''. In: ''The Quarterly Journal of Mathematics'', vol. 44; pp. 264-296.</ref>
 : ''Elke aliquotrij eindigt met een priemgetal of met een perfect getal, of gaat over in een repeterende rij.''
-Het blijft nog steeds bij een vermoeden omdat van enkele getallen niet bekend is ''hoe'' ze eindigen. Dit zijn onder meer de zogenoemde ''Vijf van Lehmer'': 276, 552, 564, 660 en 966.<ref>{{en}} {{aut| M. Benito, J.L. Varona (1998):}} ''[http://www.ams.org/journals/mcom/1999-68-225/S0025-5718-99-00991-6/S0025-5718-99-00991-6.pdf Advances in aliquot sequences]''. In: ''Mathematics Of Computation'', vol. 68, nr. 25; pp. 389-393. [https://web.archive.org/web/20180722000449/http://www.ams.org/journals/mcom/1999-68-225/S0025-5718-99-00991-6/S0025-5718-99-00991-6.pdf Gearchiveerd] op 22 juli 2018.</ref>
+Het blijft nog steeds bij een vermoeden omdat van enkele getallen niet bekend is hoe ze eindigen. Dit zijn onder meer de zogenoemde Vijf van Lehmer: 276, 552, 564, 660 en 966.<ref>{{en}} {{aut|M Benito}} en {{aut|JL Varona}}. [http://www.ams.org/journals/mcom/1999-68-225/S0025-5718-99-00991-6/S0025-5718-99-00991-6.pdf Advances in aliquot sequences], 1988. in [[Mathematics of Computation]] 68, 25, blz 389-393. [https://web.archive.org/web/20180722000449/http://www.ams.org/journals/mcom/1999-68-225/S0025-5718-99-00991-6/S0025-5718-99-00991-6.pdf Gearchiveerd] op 22 juli 2018.</ref>
-== Zie ook ==
-* [[Aliquot]]
-* [[Rekenkundige functie]]
+{{Appendix||
-== Externe links ==
+; voetnoten
-* {{en}} {{aut|E.W. Weisstein:}} ''[http://mathworld.wolfram.com/AliquotSequence.html Aliquot Sequence]''. Op: MathWorld—A Wolfram Web Resource
+{{References}}
-* {{en}} [https://planetmath.org/examplesofaliquotsequences Examples of aliquote sequences]. Op: PlanetMath.org
+; literatuur
-* {{en}} {{aut|R.K. Guy, J.L. Selfridge (1974):}} ''[http://www.ams.org/journals/mcom/1975-29-129/S0025-5718-1975-0384669-X/S0025-5718-1975-0384669-X.pdf What drives an aliquot sequence?]'' In: ''Mathematics of Computation'', vol. 29, nr. 129; pp.&nbsp;101–107.
-{{Appendix||2=
-== Bronnen ==
 * {{aut|D. Wells (1986):}} ''Woordenboek van eigenaardige en merkwaardige getallen.'' Amsterdam: Uitgeverij Bert Bakker; pp. 166-167.
 * {{aut|F. Beukers (1998):}} ''Getaltheorie''. Utrecht: Epsilon Uitgaven; pp. 32-39.
 * {{fr}}{{aut|J.P. Delahaye (2002):}} ''[http://www.lifl.fr/~jdelahay/pls/2002/091.pdf Nombres aimables et suites aliquotes]''. In: ''Pour la science'', no. 292; pp. 98-103.
 * {{aut|M. Looijen (2015):}} ''Over getallen gesproken''. Zaltbommel: Van Haren Publishing (VHP), 2e druk (2016); pp. 112-113.
+; websites
-== Noten ==
+* [[MathWorld]]. [http://mathworld.wolfram.com/AliquotSequence.html Aliquot Sequence].
-{{References}}
+* {{en}} [https://planetmath.org/examplesofaliquotsequences Examples of aliquote sequences]. Op: PlanetMath.org
+* {{en}} {{aut|R.K. Guy, J.L. Selfridge (1974):}} ''[http://www.ams.org/journals/mcom/1975-29-129/S0025-5718-1975-0384669-X/S0025-5718-1975-0384669-X.pdf What drives an aliquot sequence?]'' In: ''Mathematics of Computation'', vol. 29, nr. 129; pp.&nbsp;101–107.
 }}

Huidige versie van 23 jun 2024 om 16:32

Eigenschappen

Vermoeden van Catalan-Dickson